8.7
Oznaczmy a,b=1 - przyprostokątne trójkąta prostokątnego
c=√3 - długość przeciwprostokątnej
Korzystamy z tw. Pitagorasa :
a²+b²=c²
a²+1²=(√3)²
a²+1=3
a²=3-1
a²=2
a=√2
a)
w=(cosα+sinα)/(sinα-cosα)=cosα(1+sinα/cosα)/cosα(sinα/cosα-1)=(1+tgα)/(tgα-1)
Z rysunku wynika,że :
tgα=a/b czyli tgα=√2/1 ⇔ tgα=√2
Zatem :
w=(1+√2)/(1-√2)=(1+√2)·(1+√2)/(1-√2)(1+√2)=(1+√2)²/(1-2)=-(1+2√2+2)=-(3+2√2)
b) sinα=a/c ⇔ sinα=√2/√3 ⇔ sinα=√6/3 , cosα=b/c ⇔ cosα=1/√3 ⇔ cosα=√3/3 , ctgα=1/tgα ⇔ ctgα=1/√2 ⇔ ctgα=√2/2
w=(tgα+2ctgα)/(sinαcosα)=(√2+2·√2/2)/(√6/3·√3/3)=2√2/(√18/9)=
=2√2·9/(3√2)=2·3=6