Odpowiedź:
2.
a)
y = (1/2)x - 1
Oraz punkt Q(x, y) = Q(16, 9) to y = (1/2)•16 - 1 = 16/2 - 1 = 8 - 1 = 7 ≠ 9, nie spełnia równania prostej f, co należało sprawdzić.
A więc: Odpowiedź: Punkt Q nie należy do wykresu funkcji liniowej f.
b)
y = 2x + 3
Sprawdzamy (jak w przykładzie a)), najpierw, czy nie ma pomyłki - czy punkt P spełnia równanie prostej f, następnie czy punkt Q spełnia równanie prostej f - by odpowiedzieć na pytanie w zadaniu:
P(x, y) = P(- 6, -9),
y = 2(- 6) + 3 = - 12 + 3 = - 9, spełnia równanie, co należało sprawdzić.
Q(7, 19)
y = 2•7 + 3 = 17 ≠ 19, co należało sprawdzić: nie spełnia równania prostej f: y = 2x + 3 to
Odpowiedź: Punkt Q nie należy do wykresu funkcji liniowej f.
c)
Sprawdzamy:
P(x, y) =P(9, - 4),
y = (– 2/3)x + 2 = (– 2/3)•9 + 2 = – 18/3 + 2 = - 6 + 2 = - 4,
co należało sprawdzić,
Q (8, - 3 1/3) = Q (8, - 10/3) [wspłrzędna y = - 3 1/3 = - 9/3 - 1/3 = - 10/3]
y = (– 2/3)x + 2 = (– 2/3)•8 + 2 = - 16/3 + 2 = - 16/3 + 6/3 = 10/3
co należało sprawdzić, to: Punkt Q spełnia równanie prostej f:
Odpowiedź: Punkt Q należy do wykresu funkcji liniowej f.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wprowadzenie w temat zadania:
Równanie prostej w postaci kierunkowej o współczynniku kierunkowym m: y = mx + n, jeżeli punkt P(x1, y1) leży na prostej f, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej, to y1 = mx1 + n.
Odejmując stronami te równania, otrzymamy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt P:
y = mx + n
y1 = mx1 + n
___________
y - y1 = m(x - x1), gdzie n - n = 0, zredukowało się.
Współczynnik kierunkowy prostej m = tg α, jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi 0x+.
2. a) P(8, 3), Q(16, 9) b) P(-6, -9), Q(7, 19) c) P(9, - 4), Q (8, - 3 3/4)
a)
Równanie prostej f można wyznaczyć również z przedstawionego rysunku prostej f w układzie współrzędnych 0xy, mianowicie:
Dla wyznaczenia współczynnika kierunkowego m = tg α prostej f liczymy kratki na rysunku, dla punktów, w których prosta przechodzi przez wierzchołki kratek (wierzchołki tych malutkich kwadratów), tworząc w wyobraźni trójkącik prostokątny na prostej, gdzie
m = tg α = (przyprostokątna pionowa)/(przyprostokątna pozioma).
Z rysunku mamy: m = tg α = (1 kratka/2 kratki) = (2 kratki/4 kratki) = 1/2,
a więc mamy m = 1/2.
Gdyby prosta f przechodziła przez początek układu współrzędnych
0(0, 0), to miałaby równanie y = mx to y = (1/2)x, ale jak widzimy
na rysunku, prosta przechodzi przez punkt y = - 1 na osi 0y, jest przesunięta od prostej y = (1/2)x do dołu o - 1, więc od współrzędnej
y musimy odjąć tą wartość (lub inaczej możemy powiedzieć, ze prosta f jest przesunięta od prostej y = (1/2)x o wektor - 1), to mamy równanie prostej
f: y = (1/2)x - 1.
Sprawdzimy, czy punkt P(x, y) = P(8, 3) spełnia równanie naszej prostej, podstawiając współrzędne punktu do równania prostej f:
y = (1/2)x - 1 to y = (1/2)•8 - 1 = 8/2 - 1 = 4 - 1 = 3, co należało sprawdzić.
Oraz punkt Q(x, y) = Q(16, 9) to y = (1/2)•16 - 1 = 16/2 - 1 = 8 - 1 = 7 ≠ 9, co należało sprawdzić.
A więc: Odpowiedź: Punkt Q nie należy do wykresu funkcji liniowej f.
Rozwiązaliśmy pierwszy przykład a) tylko na podstawie rysunku, ale dla pełniejszego, poglądowego "oswojenia się" z tematem, wyznaczymy jeszcze równane prostej f, przechodzącej przez punkt P(x, y) = P(8, 3)
według równania które wyprowadziliśmy na początku, "Wprowadzenie":
y - y1 = m(x - x1), po prostu podstawiamy współrzędne punktu do
równania:, to y - 3 = m(x - 8) to y = mx - 8m + 3 (podstawiamy
m = 1/2) to y = (1/2)x - 8/2 + 3 = (1/2)x - 4 + 3 to y = (1/2)x - 1,
co należało sprawdzić.
b)
Liczymy kratki w pionie i w poziomie, to m = tg α = 4/2 = 2
Gdyby nasza prosta przechodziła przez początek układu 0xy, to miałaby równanie y = mx to y = 2x
Widzimy na rysunku, że prosta f jest przesunięta do góry od prostej
y = 2x o 3 do góry, czyli nasze równanie prostej f: y = 2x + 3.
Sprawdzamy (jak w przykładzie a)), najpierw, czy nie ma pomyłki - czy punkt P spełnia równanie prostej f, następnie czy punkt Q spełnia równanie prostej f - by odpowiedzieć na pytanie w zadaniu:
P(x, y) = P(- 6, -9),
y = 2(- 6) + 3 = - 12 + 3 = - 9, spełnia równanie, co należało sprawdzić.
Q(7, 19)
y = 2•7 + 3 = 17 ≠ 19, nie spełnia równania prostej f: y = 2x + 3 to
Odpowiedź: Punkt Q nie należy do wykresu funkcji liniowej f.
c)
Liczymy kratki, mamy: m = tg α = 2/3 (tutaj 2/3 wyznaczają nam punkty przecięcia prostej z osiami 0x i 0y)
Ale ten przypadek jest inny, przypomnę z "Wprowadzenie":
Współczynnik kierunkowy prostej m = tg α, jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi 0x+.
A my podaliśmy kąt: do ujemnego kierunku osi 0x-.
Właściwym kątem jest ten kąt rozwarty, α ∈ (90º, 180º),
"wzory redukcyjne, II ćwiartka, (90º, 180º) tg ∢(90º, 180º) < 0, jest ujemny, (–)".
...ale to tylko mała korekta: m = tg α = – 2/3, ...a dalej już tak samo:
Gdyby prosta przechodziła przez początek układu 0xy to miałaby równanie y = mx to y = (– 2/3)x ale nasza prosta f przesunieta jest do góry o + 2, więc równanie prostej f: y = (– 2/3)x + 2.
Sprawdzamy:
P(x, y) =P(9, - 4),
y = (– 2/3)x + 2 = (– 2/3)•9 + 2 = – 18/3 + 2 = - 6 + 2 = - 4,
co należało sprawdzić,
Q (8, - 3 1/3) = Q (8, - 10/3) [wspłrzędna y = - 3 1/3 = - 9/3 - 1/3 = - 10/3]
y = (– 2/3)x + 2 = (– 2/3)•8 + 2 = - 16/3 + 2 = - 16/3 + 6/3 = 10/3
co należało sprawdzić, to: Punkt Q spełnia równanie prostej f:
Odpowiedź: Punkt Q należy do wykresu funkcji liniowej f.
[Na koniec wrócę do: "wzory redukcyjne, II ćwiartka, (90º, 180º)
tg ∢(90º, 180º) < 0, jest ujemny, (–)". Można z tzw. "koła trygonometrycznego" wyznaczać, które funkcje w której ćwiartce mają znak (–) czy (+) - (ale jest taki przydatny wierszyk, może jest znany, więc może niepotrzebnie tu podam, ale może komuś się przyda, daje natychmiast odpowiedź bez zastanawianie się - wierszyk jest akcentem na "plusy" (+), nie wymienione funkcje mają wartości ujemne (–))]:
["W pierwszej ćwiartce same plusy (+), w drugiej tylko sinus (+) , w trzeciej tangens (+) i cotangens (+) , a w czwartej cosinus (+) "]
np: cos (- α) = + cos α, bo IV ćwiartka, (270º, 360º)
[myślę, że temat zadania został wyczerpany]
