Miara szukanego kąta wynosi [tex]\alpha=36^o[/tex].
Trójkąt równoramiennyTrójkąt równoramienny to taki trójkąt, który ma dwa boki równej długości nazywane ramionami. Trzeci bok trójkąta nazywamy podstawą. Kąty przy podstawie mają równą miarę.
Podobieństwo trójkątów
Trójkąty podobne to takie trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne. Również odpowiednie kąty w takich trójkątach mają takie same miary.
Mamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:
- cecha bok-bok-bok (bbb) - stosunki odpowiednich boków w obu trójkątach są sobie równe;
- cecha bok-kąt-bok (bkb) - stosunki odpowiednich dwóch boków w obu trójkątach są sobie równe i kąty między tymi bokami mają równe miary;
- cecha kąt-kąt-kąt (kkk) - miary odpowiednich kątów są sobie równe.
Mamy trójkąt równoramienny ABC, gdzie [tex]|AC|=|BC|[/tex]. Zatem kąty CAB oraz CBA mają równe miary.
Poprowadzono odcinek AD w taki sposób, że [tex]|AB|=|AD|=|CD|[/tex]. Dostajemy dwa mniejsze trójkąty równoramienne ABD i ADC.
Kąt ACB oznaczamy jako [tex]\alpha[/tex]. Skoro trójkąt ADC jest równoramienny, to kąt CAD też ma miarę [tex]\alpha[/tex].
Oznaczmy kąt ABD jako [tex]\beta[/tex]. Trójkąt ABC jest równoramienny, więc kąt CAB też jest równy [tex]\beta[/tex]. Zatem miary kątów w tym trójkącie wynoszą [tex]\beta,\beta,\alpha[/tex] (mamy [tex]\beta+\beta+\alpha=180^o[/tex]).
Trójkąt ABD jest równoramienny, zatem kąt ADB też ma miarę [tex]\beta[/tex]. Ten trójkąt ma dwa kąty o mierze [tex]\beta[/tex], zatem kąt pomiędzy ramionami BAD wynosi [tex]180^o-\beta-\beta=\alpha[/tex] (z równości powyżej). Czyli ma kąty o miarach [tex]\beta,\beta,\alpha[/tex]. Z cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt trójkąty ABC i ABD są podobne.
Dostaliśmy, że kąt CAB [tex]\beta=2\alpha[/tex], zatem kąt ABD też [tex]\beta=2\alpha[/tex]. Zatem miary kątów w trójkącie ABC są następujące: [tex]2\alpha,2\alpha,\alpha[/tex] oraz mamy [tex]2\alpha+2\alpha+\alpha=180^o[/tex].
[tex]5\alpha=180^o/:5\\\alpha=36^o[/tex]
Miara szukanego kąta wynosi [tex]\alpha=36^o[/tex].
Trójkąt ABC z zaznaczonymi kątami w załączniku.
#SPJ4