Aby liczby a, b, c spełniały warunek [tex]|a-b|=2|b-c|=3|c-a|[/tex], musi zachodzić a=b=c.
Moduł z różnicy liczb jako odległość między tymi liczbamiModuł (wartość bezwzględna) danej liczby zwraca wartość danej liczby nie uwzględniając jej znaku. Zatem moduł liczby dodatniej to ta sama liczba, a moduł liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna, co możemy zapisać następująco:
[tex]|x|=\left \{ {{x \quad \text{dla} \quad x \ge 0} \atop {-x \quad \text{dla} \quad x < 0}} \right.[/tex]
Za pomocą modułu możemy zapisać odległość liczb na osi liczbowej, np. zapis [tex]|x-3|[/tex] oznacza odległość liczby x od liczby 3.
Założenia: dla liczb a, b, c zachodzi równość [tex]|a-b|=2|b-c|=3|c-a|[/tex]
Teza: [tex]a=b=c[/tex]
Dowód: Zapis [tex]|a-b|[/tex] oznacza odległość liczby a od liczby b, [tex]|b-c|[/tex] to odległość liczby b od liczby c, a [tex]|c-a|[/tex] to odległość liczby c od liczby a.
Oznaczmy [tex]|a-b|=2n,n \ge 0[/tex], czyli niech liczba a będzie odległa od liczby b o 2n. Z przechodniości równości mamy [tex]|a-b|=2|b-c|=2n[/tex], czyli [tex]|b-c|=n[/tex], zatem liczba b jest odległa od liczby c o n. Wnioskujemy stąd, że liczba c powinna znajdować się na osi liczbowej na lewo od liczby b dokładnie w połowie odległości pomiędzy a i b lub na prawo od liczby b w odległości n.
Mamy zatem [tex]|c-a|=n[/tex] lub [tex]|c-a|=3n[/tex].
Podstawiając do założeń, dostajemy:
[tex]|a-b|=3|c-a|\\2n=3n[/tex]
lub
[tex]|a-b|=3|c-a|\\2n=3*3n\\2n=9n[/tex]
Aby równość [tex]2n=3n[/tex] lub [tex]2n=9n[/tex] były spełnione, musi być [tex]n=0[/tex]. Wtedy mamy:
[tex]2*0=3*0\\0=0[/tex]
lub
[tex]2*0=9*0\\0=0[/tex]
Dla [tex]n=0[/tex] mamy:
[tex]|a-b|=2n=2*0=0\\|a-b|=0 \quad \text{oraz} \quad |a-b|=2|b-c|= > 2|b-c|=0= > |b-c|=0\\|a-b|=0 \quad \text{oraz} \quad |a-b|=3|c-a|= > 3|c-a|=0= > |c-a|=0[/tex]
Z powyższych równości odczytujemy, że odległość liczby a od liczby b wynosi 0, odległość liczby b od liczby c wynosi 0 i odległość liczby c od liczby a wynosi 0, co zachodzi, gdy te liczby są sobie równe, czyli [tex]a=b=c[/tex]. Co należało dowieść.
