Odpowiedź:
1. a) 5040; b) 1 814 400; c) 20 160 2. 1296 3. 5040
Szczegółowe wyjaśnienie:
1.
Ponieważ w zadaniu nie ma żadnych dodatkowych warunków, to zakładam, że tworzymy wyrazy ze wszystkich liter występujących w podanym wyrazie.
a)
Mamy 8 literowy wyraz
8 różnych liter możemy ustawić na 8! sposobów, ale tutaj litery "e", "n" i "t" występują podwójnie, więc musimy podzielić liczbę wszystkich możliwych ustawień przez liczbę możliwych ustawień powtarzających się liter.
Dwie litery można ustawić na 2! sposobów. Każde ustawienie powtarzających się liter możemy zestawić z każdym zestawieniem pozostałych powtarzających się liter, czyli mamy:
2!·2!·2! sposobów ustawienia tych liter.
Zatem różnych wyrazów mających sens lub nie z liter wyrazu "internet" można ułożyć:
[tex]\bold{\dfrac{8!}{2!\cdot2!\cdot2!}=\dfrac{8!}{1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot2} =\dfrac{8!}8 =7!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7=5040}[/tex]
b)
Mamy 10 liter, w tym "e" występujące podwójnie, czyli różnych wyrazów mających sens lub nie z liter wyrazu "permutacje" można ułożyć:[tex]\bold{\dfrac{10!}{2!}=\dfrac{10!}2=1\,814\,400}[/tex]
c)
Mamy 8 liter, w tym "a" występujące podwójnie, czyli różnych wyrazów mających sens lub nie z liter wyrazu "wariacje" można ułożyć:
[tex]\bold{\dfrac{8!}{2!}=\dfrac{8!}2=20\,160}[/tex]
2.
Skoro kule zostały ponumerowane to są rozróżnialne.
Mamy trzy kolory po trzy kule, wiec aby każde 3 po sobie następujące kule były rożnego koloru czwarta i siódma muszą być w takim kolorze jak pierwsza, piąta i ósma - jak druga, a szósta i dziewiąta - jak trzecia.
Pierwszą kulę wybieramy dowolną - 9 możliwości
druga kula musi być w innym kolorze, czyli 6 możliwości
trzecia kula w innym kolorze niż dwie już ustawione, czyli 3 możliwości
czwarta musi być w takim kolorze jak pierwsza, czyli dwie możliwości
piąta - w takim jak druga, czyli dwie możliwości
szósta - w takim jak trzecia, czyli dwie możliwości
Przy ustawianiu trzech ostatnich nie mamy już wyboru - tylko jedna możliwość.
Zatem kule można tak ustawić na:
9·6·3·2·2·2·1·1·1 = 1296 sposobów.
3.
Kule są ponumerowane, a więc rozróżnialne, losujemy po kolei wszystkie, bez zwracania. Zatem zadanie sprowadza się do ustalenia na ile sposobów można je po kolei ustawić, czyli mamy permutację:
7! = 5040
{Jeśli w zadaniu była podana liczba kul jaką losujemy, to korzystamy z reguły mnożenia, czyli losowanie dwóch kul bez zwracania to 7·6, trzech bez zwracania - 7·6·5 itd.}
