Odpowiedź:
[tex]det(B)=-28[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Macierz:
[tex]B=\left|\begin{array}{cccc}1&1&4&-1\\-4&-1&4&3\\3&0&-4&-2\\-4&-2&0&1\end{array}\right|[/tex]
Najpierw wykonamy operacje elementarne na macierzy, aby nieco ułatwić sobie rozwinięcie Laplace'a. Kolejne operacje to:
[tex]k_{1}+k_{4} \rightarrow-4k_{1}+k_{3} \rightarrow-k_{1}+k_{2}[/tex]
Kolejne macierze to:
[tex]\left|\begin{array}{cccc}1&1&4&0\\-4&-1&4&-1\\3&0&-4&1\\-4&-2&0&-3\end{array}\right| \rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\-4&-1&20&-1\\3&0&-16&1\\-4&-2&16&-3\end{array}\right| \rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\-4&3&20&-1\\3&-3&-16&1\\-4&2&16&-3\end{array}\right|[/tex]
Dzięki temu wyznaczników względem elementów wyzerowanych w pierwszym wierszu nie musimy brać pod uwagę (bo są zerowe). Liczymy wyznacznik względem [tex]1[/tex] i mamy:
[tex]\left|\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\-4&3&20&-1\\3&-3&-16&1\\-4&2&16&-3\end{array}\right|=1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{ccc}3&20&-1\\-3&-16&1\\2&16&-3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}3&20&-1\\-3&-16&1\\2&16&-3\end{array}\right|[/tex]
Możliwe jest dalsze korzystanie z rozwinięcia Laplace'a, ale ograniczmy się do użycia reguły Sarrusa:
[tex]$\left|\begin{array}{ccc}3&20&-1\\-3&-16&1\\2&16&-3\end{array}\right|=(144+40+48)-(32+48+180)=232-260=-28[/tex]