Dopasuj do zdania: ¡… a la derecha, señor! a) Torces b) Torce c) Tuerza d) Tuerce

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Energia wewnętrzna jest funkcją stanu, co oznacza, że nie zależy od drogi przemiany. W tej sytuacji:

[tex]\Delta U=nC_v\Delta T[/tex]

jednoatomowe molekuły mają 3 stopnie swobody zatem:

[tex]C_v=\frac{3}{2}R\\\Delta U=10mol\cdot \frac{3}{2}\cdot8.31\frac{J}{mol\cdot K}\cdot40K=4986J[/tex]

pozdrawiam

Rozwiązanie:

Zadanie [tex]\bold{1.}[/tex]

Całka:[tex]$\iint\limits^{}_{D}2ydxdy[/tex]

Obszar w załączniku.

Zapis obszaru:[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq \sqrt{x} \wedge y\leq -x+2\}[/tex]

Zauważmy, że rozważany obszar jest regularny względem osi [tex]OX[/tex], tak więc podzielimy go na dwa obszary normalne:

[tex]D_{1}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq \sqrt{x} \wedge 0\leq x\leq 1\}[/tex]

[tex]D_{2}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq -x+2 \wedge 1\leq x\leq 2\}[/tex]

Zatem:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}2ydxdy=\iint\limits^{}_{D_{1}}2ydxdy+\iint\limits^{}_{D_{2}}2ydxdy=I_{1}+I_{2}[/tex]

[tex]$I_{1}=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(\int \limits^{\sqrt{x}}_{0} 2y dy\Bigg)dx=\int\limits^{1}_{0}y^{2} \Bigg|^{\sqrt{x}}_{0}dx=\int\limits^{1}_{0}x \ dx=\frac{x^{2}}{2} \Bigg|^{1}_{0}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]$I_{2}=\int \limits^{2}_{1}\Bigg(\int \limits^{-x+2}_{0}2ydy\Bigg)dx=\int \limits^{2}_{1} y^{2} \Bigg|^{-x+2}_{0}dx=\int\limits^{2}_{1} x^{2}-4x+4 \ dx=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+4x \Bigg|^{2}_{1}=[/tex]

[tex]$=\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}[/tex]

Ostatecznie:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}2ydxdy=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}[/tex]

Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]

Objętość:[tex]$\iiint\limits^{}_{V}dxdydz[/tex]

Możemy łatwo przejść na całkę podwójną, wprowadzamy obszar całkowania na płaszczyźnie kartezjańskiej:

[tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 9\}[/tex]

Obszar [tex]D[/tex] powstał z ograniczenia płaszczyzny [tex]z=0[/tex] walcem [tex]x^{2}+y^{2}=9[/tex].

Przechodzimy na całkę podwójną:

[tex]$\iiint\limits^{}_{V}dxdydz=\iint\limits^{}_{D} \Bigg(\int \limits^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}_{0}dz\Bigg)dxdy=\iint\limits^{}_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ dxdy[/tex]

Wprowadzamy współrzędne biegunowe:[tex]$\left \{ {{x=r \cos \varphi \atop {y=r \sin \varphi}} \right.[/tex]

gdzie:

[tex]0\leq r\leq 3[/tex]

[tex]0\leq \varphi\leq 2\pi[/tex]

[tex]J(r,\varphi)=r[/tex]

Zatem:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ dxdy=\int \limits^{3}_{0}\Bigg(\int \limits^{2\pi}_{0}\sqrt{r^{2}\cos^{2} \varphi + r^{2}\sin^{2} \varphi} \cdot r \ d\varphi\Bigg)dr=[/tex]

[tex]$=\int\limits^{3}_{0}\Bigg(\int\limits^{2\pi}_{0} r^{2} \ d \varphi\Bigg)dr=2\pi \int \limits^{3}_{0}r^{2} \ dr=2\pi \cdot \frac{r^{3}}{3}\Bigg|^{3}_{0}=18\pi[/tex]

Zadanie [tex]\bold3.{}[/tex]

Równanie:[tex]$5x(e^{y}+1)-5e^{y}y'=0[/tex]

Rozdzielamy zmienne:

[tex]$5x(e^{y}+1)-5e^{y} \cdot \frac{dy}{dx}=0[/tex]

[tex]$\frac{dy}{dx}=\frac{5x(e^{y}+1)_}{5e^{y}}[/tex]

[tex]$\frac{e^{y} dy}{e^{y}+1}=x \ dx[/tex]

Całkujemy:

[tex]$\int \frac{e^{y}dy}{e^{y}+1}=\int x \ dx[/tex]

[tex]$\ln(e^{y}+1)=\frac{x^{2}}{2}+C[/tex]

Rozwiązanie ogólne już mamy, wyznaczamy jeszcze [tex]y[/tex] :

[tex]$e^{y}+1=e^{\frac{x^{2}}{2}+C}[/tex]

[tex]e^{y}=e^{\frac{x^{2}}{2}+C}-1[/tex]

[tex]$y=\ln \Big(e^{\frac{x^{2}}{2}+C}\Big)-1 \ , \ C \in \mathbb{R}[/tex]

Zadanie 11

A. P

B. F

Zadanie 12

Rysunek w załączniku :))