Rozłóż na czynniki w(x)=x^3-x^2-6x w(x)=216x^3+125 w(x)=2x^3+6x^2-4x-12 w(x)=3x^3-x^2+15x-5

Odpowiedź:

f ' (x) =3 x² + 6 x --24 = 3*( x² + 2 x - 8)

Δ = 4 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36                √Δ = 6

x = [tex]\frac{-2 - 6}{2} = - 4[/tex]                 lub           x = [tex]\frac{-2 + 6}{2} = 2[/tex]

więc  f '(x) > 0  dla x ∈ ( -∞, - 4 )   ∪ ( 2, +∞ )

i  f  '(x) < 0   dla  x ∈ ( -4, 2)

zatem   funkcja f  rośnie w ( - ∞ , - 4)  i  w  ( 2, + ∞)

a  maleje w ( - 4, 2).

f '( - 4) = 0  i  pochodna zmienia znak z  + na  -  czyli  f  ma max lokalne

w x = - 4

f ' (2) = 0  i  pochodna zmienia znak z  -  na  +    - czyli f  ma  min  lokalne

w  x = 2.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Odpowiedź:

a)  cos x = -  [tex]\frac{1}{4}[/tex]   więc z "jedynki" trygonometrycznej mamy

[tex]sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (\frac{-1}{4} )^2 = \frac{15}{16}[/tex]

[tex]sin x = \frac{\sqrt{15} }{\sqrt{16} } = \frac{\sqrt{15} }{4}[/tex]      bo  x ∈ (  [tex]\frac{\pi }{2}[/tex] , π)    II ćwiartka

tg x = sin x : cos x = [tex]\frac{\sqrt{15} }{4} : \frac{-1}{4} = \frac{\sqrt{15} }{4} *( -4) = - \sqrt{15}[/tex]

c)

sin x = [tex]\frac{2}{3}[/tex]       i          x ∈ ( [tex]\frac{\pi }{2} , \pi )[/tex]

Mamy [tex]cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - (\frac{2}{3})[/tex]² = [tex]\frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}[/tex]

więc cos x =  - [tex]\sqrt{\frac{5}{9} }[/tex] = - [tex]\frac{\sqrt{5} }{3}[/tex]      bo  w  II ćwiartce cosinus   jest ujemny

tg x = sin x : cos x = [tex]\frac{2}{3} : ( - \frac{\sqrt{5} }{3}[/tex] ) = - [tex]\frac{2}{3} *\frac{3}{\sqrt{5} }[/tex] = - [tex]\frac{2}{\sqrt{5} }[/tex] = - [tex]\frac{2\sqrt{5} }{5}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Odpowiedź:

zad 1

a₁= 5

r = 3

a₆ = a₁ + 5r = 5 + 5 * 3 = 5 + 15 = 20

S₆ = (a₁ + a₆) * 6/2 = (5 + 20) * 3 = 25 * 3 = 75

zad 2

a₁ = 4

q = 1/2

a₅ = a₁q⁴ = 4 * (1/2)⁴ = 4 * 1/16 = 1/4

S₄ = a₁(1 - q⁴)/(1 - q) = 4(1 - 1/16)/(1 - 1/2) = (4 * 15/16)/(1/2) = 15/4 : 1/2 =

= 15/4 * 2 = 30/4 = 7 2/4 = 7 1/2

II sposób

a₁ = 4

a₂ = a₁q = 4 * 1/2 = 2

a₃ = a₂q = 2 * 1/2 = 1

a₄ = a₃q = 1 * 1/2 = 1/2

S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 4 + 2 + 1 + 1/2 = 7 1/2

1.

[tex]a_1 = 5\\r = 3\\a_6 = ?\\S_6 = ?\\\\a_{n} = a_1+(n-1)\cdot r\\\\a_6 = 5 + 5\cdot3 = 5+15}=\boxed{20}[/tex]

[tex]S_{n} = \frac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n\\\\S_6 = \frac{5+20}{2}\cdot6 = 25\cdot3 = \boxed{75}[/tex]

2.

[tex]a_1 = 4\\q = \frac{1}{2}\\a_5 = ?\\S_4 = ?\\\\a_{n} = a_1\cdot q^{n-1}\\\\a_5 = 4\cdot(\frac{1}{2})^{4} = 4\cdot\frac{1}{16} = \frac{4}{16} =\boxed{ \frac{1}{4}}[/tex]

[tex]S_{n} = a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}\\\\S_{4} = 4\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{4}}{1-\frac{1}{2}} =4\cdot\frac{\frac{16}{16}-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = 4\cdot\frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = 4\cdot\frac{15}{16}\cdot2 = \frac{8\cdot15}{16} = \frac{15}{2} = \boxed{7\frac{1}{2}}[/tex]

Odpowiedź:

Zad. 4

Prostopadłościan został wykonany z drewna topoli.

Zad. 5

Różnica w ciężarze łazika na Ziemi in Marsie wynosi 6570,9 N.

Wyjaśnienie:

Zad. 4

Tak aby później nie przeliczać jednostek, zróbmy to od razu:

m = 168 g = 0,168 kg

a = 12,5 cm = 0,125 m

b = 8,4 cm = 0,084 m

c = 4 cm = 0,04 m

Policzmy gęstość:

[tex]\rho = \dfrac{m}{V}=\dfrac{m}{a\cdot b\cdot c}=\dfrac{\text{0,168}}{\text{0,125}\cdot\text{0,084}\cdot\text{0,04}}=400\;\left[\dfrac{kg}{m^3}\right][/tex]

Sprawdzamy w tabelce - topola

---

Zad. 5

Różnica w ciężarze łazika na Ziemi i na Marsie:

[tex]\Delta Q=m\cdot g_Z-m\cdot g_M=m\cdot(g_Z-g_M)[/tex]

Podstawmy dane:

[tex]\Delta Q = m\cdot(g_Z-g_M)=1043\cdot(10-\text{3,7})=1043\cdot\text{6,3}=\text{6570,9}\;[N][/tex]