POMOCY!!!!@! na jutro na zaliczenieWielomian [tex]w(x) = x^4+3x^3-8x^2-12x+16[/tex] nie jest podzielny przez dwumian:A) x - 2B) x + 2C) x - 4D) x +4

Odpowiedzi 2

Odpowiedź:

w(2) = 16 + 3*8 - 8*4 - 12*2 + 16 = 16 + 24 - 32 - 24 + 16 = 0

w(-2) = 16 + 3*(-8) - 8*4 -12*(-2) + 16 = 16 - 24 - 32 + 24 + 16 = 0

w(4) = 256 + 3*64 - 8*16 - 12*4 + 16 = 256 + 192 - 128 - 48 + 16 = 288 ≠ 0

w(x) nie jest podzielny przez ( x - 4).

Szczegółowe wyjaśnienie:

Odpowiedź:

C. x - 4

Szczegółowe wyjaśnienie:

w(x) = x⁴ + 3x³ - 8x² - 12x + 16 = x⁴ - 8x² + 16 + 3x³ - 12x

= (x²)² - 2 · x² · 4 + 4² + 3x(x² - 4)

stosujemy wzór skróconego mnożenia: (a - b)² = a² - 2ab + b²

= (x² - 4)² + 3x(x² - 4) = (x² - 4)(x² - 4 + 3x) = (x² - 2²)(x² + 4x - x - 4)

stosujemy wzór skróconego mnożenia: (a - b)(a + b) = a² - b²

= (x - 2)(x + 2)[x(x + 4) - 1(x + 4)] = (x - 2)(x + 2)(x + 4)(x - 1)

Z postaci iloczynowej tego wielomianu wnioskujemy, że jest on podzielny przez dwumiany:

x - 2, x + 2, x + 4 i x - 1

Czyli nie jest podzielny przez dwumian (x - 4) ⇒ C.

Inna metoda rozwiązania:

Na podstawie twierdzenia Bézouta, jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian ten jest podzielny przez dwumian (x - a).

Podstawiamy kolejno:

x = 2, x = -2, x = 4 i x = -4 z dwumianów z odpowiedzi i sprawdzamy, czy wartość wielomianu wynosi 0.

w(2) = 2⁴ + 3 · 2³ - 8 · 2² - 12 · 2 + 16 = 16 + 24 - 32 - 24 + 16 = 0

Wielomian w(x) jest podzielny przez (x - 2)

w(-2) = (-2)⁴ + 3 · (-2)³ - 8 · (-2)² - 12 · (-2) + 16 = 16 - 24 - 32 + 24 + 16 = 0

Wielomian w(x) jest podzielny przez (x + 2)

w(4) = 4⁴ + 3 · 4³ - 8 · 4² - 12 · 4 + 16 = 256 + 192 - 128 - 48 + 16 = 288 ≠ 0

Wielomian w(x) nie jest podzielny przez (x - 4)

w(-4) = (-4)⁴ + 3 · (-4)³ - 8 · (-4)² - 12 · (-4) + 16 = 256 - 192 - 128 + 48 + 16 = 0

Wielomian w(x) jest podzielny przez (x + 4)