Wpisz brakujący wykładnik. a) 5^7×5*=5^10 b) 5^7÷5*=5^4 c) 7^3×7*=7^8 d) 7^12÷7*=7^6 e) 3*×3^7=3^15 f) 3*÷3^6=3^2 g) 2*×2^5=2^9 h) 2*÷2^3=2^7Na teraz, DAJĘ NAJJ​

W zadaniu należy wpisać brakujący wykładnik.

Skorzystamy z wzorów:

[tex]a^b \cdot a^c = a^{b +c} \\\\a^b : a^c = a^{b - c} \\\\[/tex]

Brakujący wykładnik możemy zapisać jako niewiadoma 'x' i traktować to jako równanie z jedną niewiadomą.

Przykłady z zadania:

[tex]a)\\\\ 5^7\cdot5^x=5^{10} | : 5^7 \rightarrow 5^x = \cfrac{5^{10}}{5^7} \rightarrow 5^x = 5^{10 - 7} \rightarrow 5^x = 5^3 \rightarrow x = 3 \\\\[/tex]

[tex]b)\\\\ 5^7:5^x=5^4 | \cdot 5^x \rightarrow 5^7 = 5^4 \cdot 5^x | : 5^4 \rightarrow 5^x = \cfrac{5^7}{5^4}\rightarrow 5^x = 5^{7-4} \rightarrow 5^x = 5^3 \rightarrow x = 3 \\\\[/tex]

[tex]c)\\\\ 7^3\cdot7^x=7^8| : 7^3 \rightarrow 7^x = \cfrac{7^8}{7^3} \rightarrow 7^x = 7^{8-3} \rightarrow 7^x = 7^5 \rightarrow x = 5 \\\\[/tex]

[tex]d)\\\\ 7^{12}:7^x=7^6 | \cdot 7^x \rightarrow 7^{12} = 7^6 \cdot 7^x | : 7^6 \rightarrow 7^x = \cfrac{7^{12}}{7^6} \rightarrow 7^x = 7^{12 - 6} \rightarrow 7^x = 7^6 \rightarrow \\\\x = 6 \\\\[/tex]

[tex]e)\\\\ 3^x\cdot3^7=3^{15} | : 3^7 \rightarrow 3^x = \cfrac{3^{15}}{3^7} \rightarrow 3^x = 3^{15 - 7} \rightarrow 3^x = 3^8 \rightarrow x = 8 \\\\f)\\\\ 3^x:3^6=3^2 | \cdot 3^6 \rightarrow 3^x = 3^2 \cdot 3^6 \rightarrow 3^x = 3^{2+6} \rightarrow 3^x = 3^8 \rightarrow x = 8 \\\\[/tex]

[tex]g)\\\\ 2^x\cdot2^5=2^9 | : 2^5 \rightarrow 2^x = \cfrac{2^9}{2^5} \rightarrow 2^x = 2^{9-5} \rightarrow 2^x = 2^4 \rightarrow x = 4 \\\\h) \\\\ 2^x:2^3=2^7| \cdot 2^x \rightarrow 2^x = 2^7 \cdot 2^3 \rightarrow 2^x = 2^{7+ 3} \rightarrow 2^x = 2^{10} \rightarrow x = 10 \\\\[/tex]

W każdym z przykładów jest taka sama podstawa potęgi więc korzystając z dwóch podanych wzorów na początku - możemy również od razu przejść na takie zapisy - zajmując się tylko wykładnikami:

[tex]a)\\\\ 5^7\cdot5^x=5^{10}\rightarrow 7 + x = 10 \rightarrow x = 10 - 7 \rightarrow x = 3\\\\b)\\\\ 5^7:5^x=5^4 \rightarrow 7 - x = 4 \rightarrow - x = 4 - 7 \rightarrow - x = -3| :(-1) \rightarrow x = 3 \\\\[/tex]

[tex]c)\\\\ 7^3\cdot7^x=7^8\rightarrow 3 + x = 8 \rightarrow x = 8 - 3 \rightarrow x = 5 \\\\d)\\\\ 7^{12}:7^x=7^6\rightarrow 12 - x = 6 \rightarrow -x = 6 - 12 \rightarrow -x = -6|:(-1) \rightarrow x = 6 \\\\[/tex]

[tex]e)\\\\ 3^x\cdot3^7=3^{15}\rightarrow x + 7 = 15 \rightarrow x = 15 -7 \rightarrow x = 8 \\\\f)\\\\ 3^x:3^6=3^2 \rightarrow x - 6 = 2 \rightarrow x = 2 + 6 \rightarrow x = 8 \\\\[/tex]

[tex]g)\\\\ 2^x\cdot2^5=2^9 \rightarrow x + 5 = 9 \rightarrow x = 9-5 \rightarrow x = 4 \\\\h) \\\\ 2^x:2^3=2^7\rightarrow x - 3 = 7 \rightarrow x = 7 + 3 \rightarrow x = 10 \\\\[/tex]

#SPJ2