4. Która z podanych liczb leży na osi liczbowej najbliżej liczby √10? A. 3,3 B. 3 C. 3,1 D. 3,2 5. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Wynik działania √1,44 + √0,81 jest liczbą wymierną. prawda fałsz Wynik działania √1,6 : √0,4 jest liczbą naturalną. prawda fałsz Wyrażenie 0,3√0,75 jest równe 27 200 . prawda fałsz 6. Które obliczenia wykonano błędnie? A. √5 ⋅ 16 = √5 ⋅ √16 = 4√5 B. √18 + 25 = √18 + √25 = 3√2 + 5 C. 9 16 = √9 √16 = 3 4 D. √100 − 64 = √36 = 6

1/ Ich habe meiner Schwester eine Maskotte geschenkt.

2/ Ich habe meinen Großeltern Pralinen geschenkt.

3/ Ich habe meinem Bruder ein T-Shirt geschenkt.

4/ Ich habe meinem Freund Socken geschenkt.

Odpowiedź:

W każdym punkcie musimy najpierw przenieść słowny opis działań na zapis algebraiczny, a następnie wykonać obliczenia.

a) Oblicz iloraz sumy liczb x i y przez ich różnicę.

Na początku nie interesują nas konkretne wartości x i y, dopiero potem je podstawimy.

Suma x i y to [tex]x+y[/tex]. Różnica to [tex]x-y[/tex]. Iloraz to wynik dzielenia, zatem musimy podzielić [tex]x+y[/tex] przez [tex]x-y[/tex]. Mamy zatem obliczyć

[tex]\frac{x+y}{x-y}[/tex]

Podstawiamy [tex]x=2-\sqrt5,\,\,y=4-\sqrt5[/tex]

[tex]\frac{x+y}{x-y} = \frac{(2-\sqrt5)+(4-\sqrt5)}{(2-\sqrt5)-(4-\sqrt5)} = \frac{2-\sqrt5+4-\sqrt5}{2-\sqrt5-4+\sqrt5} = \frac{6-2\sqrt5}{-2} = -3+\sqrt5 = \sqrt5-3[/tex]

Wyjaśnienie: opuszczając nawiasy, zauważamy, że przed drugim nawiasem w mianowniku stoi znak minus, więc zmieniamy znaki wyrazów w tym nawiasie (mamy -4 i +√5). Następnie sumujemy wyrazy (oddzielnie) w liczniku i w mianowniku. Na koniec dzielimy licznik przez mianownik. W liczniku mamy odejmowanie, więc dzielimy każdy wyraz przez -2 (z mianownika).

b) Oblicz sześcian różnicy liczb x i y.

Musimy podnieść różnicę x i y, czyli [tex]x-y[/tex], do sześcianu (do trzeciej potęgi), tzn. obliczyć

[tex](x-y)^3[/tex]

Mamy [tex]x=1-6\sqrt[3]3,\,\,y=0,(9)-\sqrt[3]3[/tex].

Zauważmy, że w liczbie y mamy ułamek dziesiętny nieskończony. Zamieńmy go na ułamek zwykły.

[tex]a=0,(9)\\10a=9,(9)\\10a-a=9,(9)-0,(9)\\9a=9\\a=1\\0,(9)=1[/tex]

Otrzymaliśmy liczbę całkowitą: 1. Może to być trochę nieintuicyjne, ale to jest poprawny wynik.

Mamy zatem [tex]y=1-\sqrt[3]3[/tex]. Teraz podstawiamy i obliczamy:

[tex](x-y)^3 = \left(\left(1-6\sqrt[3]3\right)-\left(1-\sqrt[3]3\right)\right)^3 = \left(1-6\sqrt[3]3-1+\sqrt[3]3\right)^3\\\phantom{(x-y)^3}= \left(-5\sqrt[3]3\right)^3 = -125\cdot3 = -375[/tex]

Wyjaśnienie: najpierw zajęliśmy się wyrazami w dużym nawiasie. Opuściliśmy wewnętrzne nawiasy i posumowaliśmy wyrazy. Uzyskaliśmy [tex](-5\sqrt[3]3)^3[/tex], czyli mnożenie do potęgi 3. Wykonaliśmy potęgowanie i wymnożyliśmy czynniki.

c) Oblicz różnicę odwrotności kwadratów liczb x i y.

Mamy kwadraty liczb x i y: [tex]x^2,\,y^2[/tex]. Ich odwrotności to [tex]\frac{1}{x^2},\,\frac{1}{y^2}[/tex]. Mamy obliczyć różnicę tych odwrotności, czyli

[tex]\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}[/tex]

Mamy liczby [tex]x=\frac{\sqrt2}{9},\,\,y=0,(2)\cdot\sqrt3[/tex]

Znowu zaczniemy od pozbycia się ułamka okresowego na rzecz zwykłego:

[tex]b=0,(2)\\10b=2,(2)\\10b-b=2,(2)-0,(2)\\9b=2\\b=\frac{2}{9}\\0,(2)=\frac{2}{9}[/tex]

Zatem mamy [tex]y=\frac{2}{9}\cdot\sqrt3=\frac{2\sqrt3}{9}[/tex].

Dla wygody obliczmy najpierw x² i y² i dopiero te wartości podstawiajmy.

[tex]x^2=\left(\frac{\sqrt2}{9}\right)^2=\frac{2}{81}\\y^2=\left(\frac{2\sqrt3}{9}\right)^2=\frac{4\cdot3}{81}=\frac{12}{81}[/tex]

Nie ma potrzeby skracania teraz ułamków (konkretnie y), podstawmy w tej postaci. Mamy

[tex]\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}=\frac{1}{\frac{2}{81}}-\frac{1}{\frac{12}{81}} = \frac{81}{2} - \frac{81}{12} = \frac{81\cdot6}{2\cdot6}-\frac{81}{12}=\frac{81\cdot6}{12}-\frac{81}{12} \\\phantom{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}}= \frac{81\cdot6-81}{12}=\frac{81\cdot5}{12} = \frac{405}{12}=\frac{135}{4}=33,75[/tex]

Wyjaśnienie: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność - jeżeli w liczniku jest 1, to po prostu otrzymujemy odwrotność ułamka z mianownika (wzór ogólny: [tex]\frac{a}{\frac{b}{c}}=a\cdot\frac{c}{b}[/tex]). Żeby wykonać odejmowanie, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, rozszerzając pierwszy z nich. Wykonujemy obliczenia w liczniku (celowo nie wymnażałem 81·6, bo łatwiej mi było potem odjąć) i skracamy licznik z mianownikiem do najprostszej postaci. Otrzymujemy ułamek niewłaściwy, który można przedstawić jako liczbę mieszaną lub ułamek dziesiętny.

Odpowiedź:

1.

mało żyzne gleby

brak rąk do pracy

mało opadów

2.

słabe warunki przyrodnicze

kolonizowanie terenów przez inne państwa

brak wykwalifikowanych pracowników i zaawansowanych sprzętów

3.

wysokie bezrobocie

brak warunków do uprawiania roli

4.Nil

5.ropa,diamenty,złoto, żelazo,ruda,mangan

Rozwiązanie w załączniku.