Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x) za pomocą pochodnej. Bardzo proszę o wytłumaczenie szczegółowo tego zadania.
-
Temat:
Matematyka -
Autor:
benji -
Utworzono:
1 rok temu
Odpowiedzi 1
Odpowiedź:
Funkcja f jest malejąca w przedziałach [tex]\langle-1,0)[/tex] oraz [tex](0 ,2\rangle[/tex].
Funkcja jest rosnąca w przedziałach [tex](-\infty,-1 \rangle[/tex] oraz [tex]\langle2,\infty)[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$f(x)=\frac{|x^{2}-x-2|}{x}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x \neq 0[/tex]
Miejsca zerowe modułu:
[tex]x^{2}-x-2=0[/tex]
[tex](x+1)(x-2)=0[/tex]
[tex]x=-1 \vee x=2[/tex]
Zatem będziemy rozpatrywać przypadki:
[tex]1 ^{\circ}[/tex]
[tex]x \in (-1,2)[/tex]
Wtedy:
[tex]$f(x)=\frac{-x^{2}+x+2}{x}=-x+1+\frac{2}{x}[/tex]
Pochodna:
[tex]$f'(x)=-x-\frac{2}{x^{2}}[/tex]
Teraz rozwiązujemy nierówność [tex]f'(x)>0[/tex]:
[tex]$-x-\frac{2}{x^{2}} >0[/tex]
[tex]-x^{3}-2>0[/tex]
[tex]x^{3}+2<0[/tex]
[tex](x+\sqrt[3]{2} )(x^{2}-x\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} )<0[/tex]
[tex]x \in (-\infty,-\sqrt[3]{2} )[/tex]
Wiadomo, że [tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x \in (-\sqrt[3]{2},\infty)[/tex].
Biorąc pod uwagę warunek ([tex]1^{\circ}[/tex]) mamy:
Funkcja f jest malejąca w przedziałach [tex]\langle-1,0)[/tex] oraz [tex](0 ,2\rangle[/tex].
[tex]2^{\circ}[/tex]
[tex]x \in (-\infty,-1 \rangle \cup \langle2,\infty)[/tex]
Wtedy:
[tex]$f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x} =x-1-\frac{2}{x}[/tex]
Pochodna:
[tex]$f'(x)=1+\frac{2}{x^{2}}[/tex]
Teraz rozwiązujemy nierówność [tex]f'(x)>0[/tex]:
[tex]$1+\frac{2}{x^{2}}>0 \iff x \in \mathbb{R}[/tex]
Wiadomo, że nie istnieje takie [tex]x[/tex], że [tex]f'(x)<0[/tex].
Biorąc pod uwagę warunek ([tex]2^{\circ}[/tex]) mamy:
Funkcja jest rosnąca w przedziałach [tex](-\infty,-1 \rangle[/tex] oraz [tex]\langle2,\infty)[/tex].
-
Autor:
abelardoj5yg
-
Oceń odpowiedź:
8
Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!
Other related questions that may help you
-
Autor:
troy80
Odpowiedź:
.............(załącznik)
-
Autor:
milagrosblankenship
-
Oceń odpowiedź:
2
-
Autor:
jarrettcoffey
-
Autor:
tinybulo
-
Oceń odpowiedź:
15
