W trapezie ABCD o kątach ostrych 30 stopni i 60 stopni , krótsze ramię i krótsza podstawa maja długosc 2cm. Oblicz obwód trapezu.

[tex]x^{5}+2x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+6 = 0\\\\x^{4}(x+2) -4x^{2}(x+2)+3(x+2) = 0\\\\(x+2)(x^{4}-4x^{2}+3) = 0\\\\(x+2)(x^{4}-3x^{2}-x^{2}+3) = 0\\\\(x+2)[x^{2}(x^{2}-3)-(x^{2}-3)] = 0\\\\(x+2)(x^{2}-3)(x^{2}-1) = 0[/tex]

Korzystam ze wzoru uproszczonego mnożenia: (a + b)(a - b) = a² - b²

[tex](x+2)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+1)(x-1) = 0\\\\x+2 = 0 \ \vee \ x+\sqrt{3} = 0 \ \vee \ x-\sqrt{3} = 0 \ \vee \ x+1 = 0 \ \vee \ x-1 = 0\\\\x=-2 \ \vee \ x = -\sqrt{3} \ \vee \ x = \sqrt{3} \ \vee \ x = -1 \ \vee \ x = 1\\\\\boxed{x \in \{-2,-\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}, 1\}}[/tex]

0,(5) = 0,55555 ...

0,(04) = 0,040404 ...

Oznaczmy środek boku AB jako E, a punkt przecięcia symetralnej boku AB z bokiem BC jako D.

oraz:      |BC| = b   i   |BD| = x

{rysunek w załączniku}

Mamy dane:   |∡ACB| = 90°,   |AC| = 10  i  |AB| = 6

           oraz:     |BE| = 0,5|AB| = 5

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

                                                       [tex]\bold{|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2}\\\\\bold{6^2+b^2=10^2}\\\\\bold{36+b^2=100}\\\\ \bold{b^2=64}\\\\\bold{b=8}\\\\\bold{|BC|=8}[/tex]

Kąt DBE trójkąta BED jest jednocześnie kątem ABC trójkąta ABC, czyli ma tę samą miarę. Oba te trójkąty są prostokątne, czyli trzecie kąty w obu trójkątach też muszą mieć jednakowe miary (bo suma kątów w trójkącie jest stała)

Zatem, z cechy kąt-kąt-kąt trójkąty te są podobne:

Stąd:

           [tex]\bold{\dfrac{|AB|}{|BD|}=\dfrac{|BC|}{|BE|}}\\\\\bold{\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{5}}\\\\\bold{8x=50\qquad/:8}\\\\\bold{x=6{,}25}\\\\\bold{|BD|=6{,}25}[/tex]

Oraz:    [tex]\bold{|CD|=|BC|-|BD|=8-6{,}25=1{,}75}[/tex]

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

(ilustracja graficzna - załącznik)

W treści zadania mamy podane dwa boki  a = 5,  b = 2  i kąt między nimi

zawarty   γ = 120º - to bezpośrednio z tw. cosinusów możemy obliczyć

brakujący bok c = ?,  c² = a² + b² - 2abcos γ,  gdzie [II ćwiartka, cos < 0],

cos 120º = cos (180º - 60º) = - cos 60º = - 1/2,       to

c² = a² + b² - 2ab cos γ = 5² + 2² - 2•5•2•(- 1/2) = 29 + 10 = 39    to

to   c = √39 ≅ 6,244997998 ≅6,245

Pozostałe kąty ∝,   β można teraz również obliczyć z tw. cosinusów,

ale prościej będzie z tw. sinusów:

a/sin ∝ = c/sin γ    to   5/sin ∝ = 6,244997998/sin 120º,   gdzie  

[II ćwiartka,  sin > 0], sin 120º = sin (180º - 60º) = + sin 60º = √3/2,

to   sin ∝/5 = sin 120º/6,244997998 = (√3/2)/6,244997998       to

sin ∝/5 =  0,138675049    /•5   to    

sin ∝ = 5•0,138675049 = 0,693375245      to     ∝ = 43º 54'

b/sinβ = a/sin ∝   to  2/sin β = 5/0,693375245       to  

sin β/2 = 0,693375245/5     /•2   to    sin β = 2•0,693375245/5   to

sin β = 0,277350098     to     β = 16º 6'  

Sprawdzenie:  ∝ + β + γ = 43º 54' + 16º 6' + 120º = 180º

co należało sprawdzić.

Wszystkie wyniki do pełnego rozwiązania trójkąta zebrane są na ilustracji graficznej - załącznik.