Jezeli prostaj jest styczna do okregu, oznacza to, ze odleglosc srodka okregu do tej prostej jest rowna promieniowi.
Dla okregu o rownaniu
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
gdzie wspolrzedne srodka okregu to
O=(a, b)
i prostej k o rownaniu [tex]Ax+By+C=0[/tex]
dlugosc promienia oblicza sie ze wzoru
[tex]d(O, k) = \frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
1. Wyznaczamy rownanie prostej k przechodzacej przez punkty A=(8, -6) i B=(5, 15)
[tex]\left \{ {{-6=8a+b/*(-5)} \atop {15=5a+b/*8}} \right. \\+\left \{ {{30=-40a-5b} \atop {120=40a+8b}} \right. \\30+120=-5b+8b\\150=3b /:3\\50=b\\15=5a+50 /-50\\-35=5a /:5\\-7=a\\y=-7x+50\\-7x-y+50=0[/tex]
2. Obliczamy odleglosc od srodka okregu do prostej
[tex]d(O, k)=\frac{|-7*0+(-1)*0+50|}{\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}}=\frac{50}{\sqrt{50}}=\frac{50}{\sqrt{5*5*2}}=\frac{50}{5\sqrt2}=\frac{10\sqrt2}2=5\sqrt2[/tex]
Odp. Promien okregu ma dlugosc [tex]5\sqrt2[/tex]
3. Wyznaczamy wspolczynnik kierunkowy prostej prostopadlej do prostej k
[tex]a_k=-7\\a_l=?\\a_k*a_l=-1\\-7*a_l=-1 /:(-7)\\a_l=\frac17[/tex]
4. Wyznaczamy rownanie prostej prostopadlej do prostej k przechodzacej przez punkt O
[tex]0=\frac17*0+b\\0=0+b\\b=0\\y=\frac17x[/tex]
5. Wyznaczamy punkt stycznosci
[tex]\left \{ {{-7x-y+50=0} \atop {y=\frac17x}} \right. \\-7x-\frac17x+50=0\\-\frac{50}7x=-50 /*(-7)\\50x=350 /:50\\x=7\\y=\frac17*7=1\\P=(7, 1)[/tex]
Interpretacja geometryczna w zalaczniku