Prostokątem to czworokąt, w którym przeciwległe boki są równe i równoległe.
Zatem musimy sprawdzić czy proste zawierające boki PQ i RS oraz QR i PS są równoległe, czyli czy mają równe współczynniki kierunkowe i czy przeciwległe boki, czyli PQ i RS oraz QR i PS mają taką samą długość.
Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy a prostej przechodzącej przez punkty [tex]A = (x_A, \ y_A) \ i \ B = (x_B, \ y_B)[/tex]:
[tex]a= \frac{y_B - y_A}{x_B-x_A}[/tex]
oraz ze wzoru na długość odcinka o końcach [tex]A = (x_A, \ y_A) \ i \ B = (x_B, \ y_B)[/tex]:
[tex]|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
----------
P(- 5, 0), Q(- 1, - 6), R(8, 0), S(4, 6)
[tex]a_{PQ}= \frac{-6 - 0}{-1+5}=\frac{-6}{4} =-1,5 \\ a_{RS}= \frac{6 - 0}{4-8}=\frac{6}{-4} =-1,5 \\ a_{PQ}=a_{RS} \\ pr.PQ \ || \ pr. RS \\\\ a_{QR}= \frac{0+6}{8+1}=\frac{6}{9} =\frac{2}{3} \\ a_{PS}= \frac{6-0}{4+5}=\frac{6}{9} =\frac{2}{3} \\ a_{QR}=a_{PS} \\ pr.QR \ || \ pr.PS[/tex]
[tex]|PQ| = \sqrt{(-1+5)^2+(-6-0)^2}= \sqrt{4^2+(-6)^2}= \sqrt{16+36}=\sqrt{52} \\ |RS| = \sqrt{(4-8)^2+(6-0)^2}= \sqrt{(-4)^2+6^2}= \sqrt{16+36}=\sqrt{52} \\ |PQ| = |RS| \\\\ |QR| = \sqrt{(8+1)^2+(0+6)^2}= \sqrt{9^2+6^2}= \sqrt{81+36}=\sqrt{117} \\ |PS| = \sqrt{(4+5)^2+(6-0)^2}= \sqrt{9^2+6^2}= \sqrt{81+36}=\sqrt{117} \\ |QR| = |PS|[/tex]
Zatem czworokąt PQRS ma przeciwległe boki są równe i równoległe, czyli jest prostokątem, co należało uzasadnić.