Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a)\ P_c=500\sqrt3\ cm^2}\\\boxed{b)\ P_c=1800\sqrt3\ cm^2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
a)
Graniastosłup prawidłowy trójkątny (podstawa trójkąt równoboczny).
Powierzchnia całkowita tego graniastosłupa składa się z dwóch przystających trójkątów równobocznych w podstawach oraz trzech przystających prostokątów jako ściany boczne.
Pole trójkąta równobocznego:
[tex]P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
[tex]a[/tex] - długość krawędzi podstawy (boku trójkąta)
Pole powierzchni bocznej:
[tex]P_b=3aH[/tex]
[tex]a[/tex] - długość krawędzi podstawy (boku trójkąta w podstawie)
[tex]H[/tex] wysokość graniastosłupa (krawędź boczna).
Podstawiamy:
[tex]a=20cm,\ H=5\sqrt3\\\\P_p=\dfrac{20^2\sqrt3}{4}=\dfrac{400\sqrt3}{4}=100\sqrt3(cm^2)\\\\P_b=3\cdot20\cdot5\sqrt3=300\sqrt3(cm^2)[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2P_p+P_b\\\\P_c=2\cdot100\sqrt3+300\sqrt3=200\sqrt3+300\sqrt3=500\sqrt3(cm^2)[/tex]
b)
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny (podstawa sześciokąt foremny).
Powierzchnia całkowita tego graniastosłupa składa się z dwóch przystających sześciokątów foremnych w podstawach oraz sześciu przystających prostokątów jako ściany boczne.
Sześciokąt foremny za pomocą dłuższych przekątnych dzielimy na sześć trójkątów równobocznych o boku długości tej samej, co bok sześciokąta.
Pole sześciokąta foremnego:
[tex]P_p=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]a[/tex] - długość krawędzi podstawy (boku sześciokąta)
Pole powierzchni bocznej:
[tex]P_b=6aH[/tex]
[tex]a[/tex] - długość krawędzi podstawy (boku sześciokąta foremnego w podstawie)
[tex]H[/tex] wysokość graniastosłupa (krawędź boczna).
Podstawiamy:
[tex]a=20cm,\ H=5\sqrt3cm\\\\P_p=\dfrac{3\cdot20^2\sqrt3}{2}=\dfrac{3\cdot400\sqrt3}{2}=3\cdot200\sqrt3=600\sqrt3(cm^2)\\\\P_b=6\cdot20\cdot5\sqrt3=600\sqrt3(cm^2)[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2P_p+P_b\\\\P_c=2\cdot600\sqrt3+600\sqrt3=1200\sqrt3+600\sqrt3=1800\sqrt3(cm^2)[/tex]