(3) a) Trzyosobową delegację z dwudziestoosobowej klasy możemy wybrać na 1140 sposobów. b) Na spotkaniu dziesięciu przyjaciół było 45 przywitań. (4) a) Czteroosobową delegację z tej klasy, gdzie będzie dwóch chłopców i dwie dziewczynki, można wybrać na 73 sposoby. b) Czteroosobową delegację z tej klasy, gdzie będzie jeden chłopiec i trzy dziewczynki, można wybrać na 128 sposobów.
SilniaSilnia danej liczby to iloczyn liczb od 1 do tej liczby. Oznaczamy ją symbolem [tex]n![/tex] i czytamy "en silnia". Liczymy ją w następujący sposób:
[tex]n!=1*2*3*...*(n-1)*n[/tex].
Symbol Newtona
Do obliczania zadań, gdzie mamy znaleźć, na ile sposobów możemy wybrać k elementów ze zbioru n-elementowego, używamy symbolu Newtona. Oznaczamy go jako [tex]{n \choose k}[/tex] i liczymy następująco:
[tex]{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex].
Zadanie 3
a) Z dwudziestoosobowej klasy wybieramy trzyosobową delegację. Ilość sposobów wybrania takiej delegacji obliczamy następująco:
[tex]{20 \choose 3}=\frac{20!}{3!*(20-3)!}=\frac{20!}{3!*17!}=\frac{1*2*3*...*16*17*18*19*20}{1*2*3*1*2*3*...*16*17}=\frac{18*19*20}{2*3}=\frac{18*19*20}6=3*19*20=1140[/tex]
Zatem trzyosobową delegację z dwudziestoosobowej klasy możemy wybrać na 1140 sposobów.
b) W grupie dziesięciu przyjaciół każdy z każdym się przywitał. Licząc ilość przywitań w tej grupie, szukamy, na ile sposobów możemy wybrać dwóch przyjaciół z dziesięcioosobowej grupy, którzy się przywitają:
[tex]{10 \choose 2}=\frac{10!}{2!*(10-2)!}=\frac{10!}{2!*8!}=\frac{1*2*3*...*7*8*9*10}{1*2*1*2*3*...*7*8}=\frac{9*10}2=9*5=45[/tex]
Na spotkaniu grupy dziesięciu przyjaciół było 45 powitań.
Zadanie 4
Mamy osiemnastoosobową klasę, gdzie jest 10 dziewczynek i 8 chłopców. Wybieramy czteroosobową delegację.
a) Chcemy, żeby w tej delegacji było dwóch chłopców i dwie dziewczynki, czyli wybieramy dwóch chłopców z ośmioosobowej grupy i dwie dziewczynki z dziesięcioosobowej grupy:
[tex]{8 \choose 2}+{10 \choose 2}=\frac{8!}{2!*(8-2)!}+\frac{10!}{2!*(10-2)!}=\frac{8!}{2!*6!}+\frac{10!}{2!*8!}=\frac{1*2*3*4*5*6*7*8}{1*2*1*2*3*4*5*6}+\frac{1*2*3*4*5*6*7*8*9*10}{1*2*1*2*3*4*5*6*7*8}=\frac{7*8}{2}+\frac{9*10}{2}=7*4+9*5=28+45=73[/tex]
Taką delegację możemy wybrać na 73 sposoby.
b) Chcemy, żeby w tej delegacji był jeden chłopiec i trzy dziewczynki, czyli wybieramy jednego chłopca z ośmioosobowej grupy i trzy dziewczynki z dziesięcioosobowej grupy:
[tex]{8 \choose 1}+{10 \choose 3}=\frac{8!}{1!*(8-1)!}+\frac{10!}{3!*(10-3)!}=\frac{8!}{1!*7!}+\frac{10!}{3!*7!}=\frac{1*2*3*4*5*6*7*8}{1*1*2*3*4*5*6*7}+\frac{1*2*3*4*5*6*7*8*9*10}{1*2*3*1*2*3*4*5*6*7}=\frac81+\frac{8*9*10}{2*3}=8+4*3*10=8+120=128[/tex]
Taką delegację możemy wybrać na 128 sposobów.