Einladung (1) ..... Patrick, (2)..... Freitag, den 15. Juni feiere ich meinen 18. (3)...... und móchte (4).... herzlich zu meiner Party (5)...... . Wir feiern bei mir (6)..... Hause. (7) ....... 19 uhr geht es los und die Party dauert bis zwei Uhr nachts. (8).... mir bitte Bescheid, ob du kommst. Ich besorge alles: Musik, essen und Getranke. ich hoffe , wir (9)........ uns gut amusieren. ich freue(10) ..... auf dich. Mit lieben GruBen Deine Sophie

Odpowiedź:

1. Weather outside

2.can i het

3.lets do

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda następna powstaje przez dodanie do poprzedniej tej samej liczby r, zwanej różnicą ciągu.

W związku z tym, dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

                            [tex]\bold{r=a_{n+1}-a_n}[/tex]

Ciąg geometryczny to ciąg liczb, w którym każda następna powstaje przez pomnożenie poprzedniej przez tę samą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu.

W związku z tym, dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego:

                            [tex]\bold{q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}[/tex]

Mamy dane:

[tex]\bold{a_1=x\,,\quad a_2=\frac34\,,\quad a_3=y\,,\quad a_4=12}[/tex]

a₂, a₃ i a₄ tworzą ciąg geometryczny, zatem:

                         [tex]\bold{q=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}}\\\\\\\bold{\dfrac{y}{\frac34}=\dfrac{12}y\qquad/\cdot\frac34y}\\\\\\\bold{y^2=9}\\\\\bold{y=3\quad\vee\quad y=-3}[/tex]

Natomiast a₁, a₂ i a₃ tworzą ciąg arytmetyczny. Stąd:

                          [tex]\bold{r=a_2-a_1=a_3-a_2}\\\\\bold{\frac34-x=y-\frac34}\\\\\bold{-x=y-\frac64}\\\\\bold{x=-y+\frac32}\\\\\bold{x=-y+1\frac12}[/tex]

Czyli:

• dla y = 3 mamy:      [tex]\bold{x = -3 + 1\frac12 = -1\frac12}[/tex]          
• dla y = -3, mamy:   [tex]\bold{x = -(-3) + 1\frac12 = 4\frac12}[/tex]

Zatem mamy dwie pary x, y spełniające warunki zadania:

[tex]\large\boxed{\begin{cases}\bold{x=-1\frac12}\\\bold{y=3}\end{cases}\qquad lub\ \qquad \begin{cases}\bold{x=4\frac12}\\\bold{y=-3}\end{cases}}}[/tex]

Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o różnych wyrazach to:

                                  [tex]\bold{S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}}[/tex]

Czyli na sumę ośmiu początkowych wyrazów:   [tex]\bold{S_8=a_1\cdot\dfrac{1-q^8}{1-q}}[/tex]

Zatem, aby ją obliczyć potrzebujemy a₁ i q.

W związku z tym, że w ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez q, możemy zapisać wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego, jako:

                  [tex]\bold{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]

Mamy dane:

                    a₃ = 4   i   a₆ = 32

Ze wzoru na dowolny wyraz ciągu geometrycznego mamy:

             [tex]\bold{a_3=a_1\cdot q^2\qquad i \qquad a_6=a_1\cdot q^5}[/tex]

Czyli:

            [tex]\bold{a_1\cdot q^2=4\qquad i \qquad a_1\cdot q^5=32}[/tex]      

Zatem:

             [tex]\bold{a_1\cdot q^5=32}\\\\\bold{a_1\cdot q^2\cdot q^3=32}\\\\\bold{4\cdot q^3=32\qquad /:4}\\\\\bold{ q^3=8}\\\\\bold{q=2}[/tex]

Wstawiając wyznaczone q do wzoru na a₃ otrzymujemy:

[tex]\bold{a_3=4}\\\\\bold{a_1\cdot q^2=4}\\\\\bold{a_1\cdot 2^2=4}\\\\ \bold{4a_1=4\qquad/:4}\\\\\bold{a_1=1}[/tex]

Zatem, suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu:

[tex]\bold{S_8=1\cdot\dfrac{1-2^8}{1-2}}\\\\\bold{S_8=\dfrac{1-256}{-1}}\\\\\large\boxed{\bold{S_8=255}}[/tex]

.......

Wyjaśnienie:

.............,...,..,.

Odpowiedź:

1. gave

2. dont do, travelled

3. was, dont work

4. had

5. stayed

6.watched

Wyjaśnienie: