Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie
Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
W oznaczeniach przyjętych na rysunku w załączniku treść twierdzenia wyraża proporcja:
[tex]\dfrac{|AD|}{|BD|}=\dfrac{|AC|}{|BC|}[/tex]
Obliczenie długości boków CE i DE (trójkąt 30°, 60°, 90°) oraz CF i DF:
[tex]|CE|=\dfrac{1}{2}|CD|=\dfrac{1}{2}\cdot5=\dfrac{5}{2}\\|CF|=|CE|=\dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]|DE|=|CE|\sqrt{3}=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\\|DF|=|DE|=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}[/tex]
Obliczenie długości boków AE i AD:
[tex]|AE|=|AC|-|CE|=8-\dfrac{5}{2}=8-2\dfrac{1}{2}=5\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{2}[/tex]
[tex]|AD|^2=|AE|^2+|DE|^2\\|AD|^2=\left(\dfrac{11}{2}\right)^2+\left(\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\right)^2\\|AD|^2=\dfrac{121}{4}+\dfrac{25}{4}\cdot3\\|AD|^2=\dfrac{121}{4}+\dfrac{75}{4}\\|AD|^2=\dfrac{196}{4}\\|AD|=\dfrac{14}{2}\\|AD|=7[/tex]
Wyznaczenie długości BD z twierdzenia o dwusiecznej:
[tex]\dfrac{7}{|BD|}=\dfrac{8}{|BC|}[/tex]
[tex]8|BD|=7|BC|\quad|:8\\|BD|=\dfrac{7}{8}|BC|[/tex]
Obliczenie długości odcinka BC:
[tex]|BF|=|BC|-|CF|=|BC|-\dfrac{5}{2}\\|BF|^2+|DF|^2=|BD|^2\\\left(|BC|-\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\right)^2=\left(\dfrac{7}{8}|BC|\right)^2\\|BC|^2-5|BC|+\dfrac{25}{4}+\dfrac{75}{4}=\dfrac{49}{64}|BC|^2\\|BC|^2-5|BC|+\dfrac{100}{4}=\dfrac{49}{64}|BC|^2\\|BC|^2-5|BC|+25-\dfrac{49}{64}|BC|^2=0\\\dfrac{15}{64}|BC|^2-5|BC|+25=0\quad|:5\\\dfrac{3}{64}|BC|^2-|BC|+5=0\quad|\cdot64\\3|BC|^2-64|BC|+320=0[/tex]
[tex]\Delta=(-64)^2-4\cdot3\cdot320=4096-3840=256\\\sqrt{\Delta}=16[/tex]
[tex]|BC|_1=\dfrac{64-16}{2\cdot3}=\dfrac{48}{6}=8=|AC|[/tex]
[tex]|BC|_2=\dfrac{64+16}{2\cdot3}=\dfrac{80}{6}=13\dfrac{2}{6}=13\dfrac{1}{3}=|BC|[/tex]
Odpowiedź: Odcinek BC ma długość [tex]13\frac{1}{3}[/tex] cm.
Pole trójkąta ADC:
[tex]P=\dfrac{|AC|\cdot|DE|}{2}=\dfrac{8\cdot\dfrac{5}{2}\sqrt{3}}{2}=8\cdot\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}=10\sqrt{3}\mbox{ cm}^2[/tex]
Pole trójkąta DBC:
[tex]P=\dfrac{|BC|\cdot|DF|}{2}=\dfrac{13\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{40}{3}\cdot\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{50}{3}\sqrt{3}\mbox{ cm}^2[/tex]