Dwa boki mają długość a=6cm b=8 cm a kąt między nimi ma miarę 60 .oblicz sinusy pozostałych kątów tego trójkąta daje najjjj!!!
-
Temat:
Matematyka -
Autor:
lino -
Utworzono:
1 rok temu
Odpowiedzi 1
Sinusy pozostałych kątów tego trójkąta wynoszą [tex]2\frac{\sqrt{39}}{13}[/tex] oraz [tex]\frac{3\sqrt{39}}{26}[/tex].
W pierwszej kolejności obliczymy długość trzeciego boku wykorzystując twierdzenie cosinusów. Oznaczmy go przez [tex]x[/tex], dostajemy wtedy:
[tex]x^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos\ 60^\circ\\x^2=100-96\cdot\frac{1}{2}\\x^2=100-48=52\\x=\sqrt{52}[/tex]
Teraz wykorzystamy twierdzenie sinusów, z którego jak wiadomo:
[tex]2R=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}[/tex], gdzie [tex]R[/tex] jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie oraz [tex]a,b,c[/tex] są bokami leżącymi odpowiednio na przeciwko kątów[tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex].
Przekształcając je dostajemy równości:
[tex]\sin\alpha=\frac{a}{2R}\\\sin\beta=\frac{b}{2R}\\\sin\gamma=\frac{c}{2R}[/tex]
W przypadku trójkąta z zadania, przyjmując [tex]\alpha=60^\circ[/tex] oraz [tex]a=x[/tex] dostajemy w pierwszym przypadku:
[tex]2R=\frac{2\sqrt{13}}{\sin 60^\circ}\\2R=\frac{2\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\2R=4\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}[/tex]
Teraz podstawiamy do wzorów i obliczamy wartości pozostałych sinusów:
[tex]\sin\beta=\frac{8}{4\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}=2\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=2\frac{\sqrt{39}}{13}\\\\\sin\gamma=\frac{6}{4\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3} }{2\sqrt{13} }=\frac{3\sqrt{39} }{2\cdot13} }=\frac{3\sqrt{39}}{26}[/tex]
-
Autor:
hamletui9e
-
Oceń odpowiedź:
8