Proszę o rozwiązanie następujących zadań za pomocą funkcji kwadratowej lub kanonicznej. 1.Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x)= -2x²-6x+2. Przedstaw funkcję f w postaci kanonicznej. 2.Wyznacz współczynnik b funkcji kwadratowej f(x)= -1/2x² + bx-7, jeśli prosta l: x=-6 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji. 3.Przedstaw równanie paraboli przechodzącej przez punkt P(2,1) o wierzchołku w punkcie W (1,2). W ostatnim zadaniu ( jeśli to mozliwe) proszę o zamieszczenie układu współrzędnych i zamieszczenie tam paraboli.

Odpowiedź:

A]

1/3  z  30= 10             2/3  z 30 zł=2*10= 20zł

b]

1/4  z 8=2                    3/4 z 8 kg= 3*2=6 kg

c]

1/4 z 12=3               5/4 z 12 h=5*3=15h

d]

1/5  z 60=12                   3/5  z 60 zł= 3*12=36 zł

e]

2  3/5  to  13/5           1/5  z 5 to 1             13/5  z 5 kg to 13*1=13 kg

f]

1  1/2  to 3/2              1/2 z 30 to 15             3/2  z 30h=  3*15=45 h

Szczegółowe wyjaśnienie:

Chronologicznie pierwsze - D - wynalezienie maszyny parowej  

Chronologicznie ostatnie - B - początek wojny Ludów

• Powstanie Świętego Przymierza ⇒ 26 września 1815 rok. W tym dniu car Rosji, którym wówczas był Aleksander I podpisał wraz z monarchami: cesarzem Austrii - Franciszkiem I, oraz królem Prus - Wilhelmem III sojusz, który nazwano „Świętym Przymierzem”.
• Początek Wojny Ludów ⇒ 12 stycznia 1848.  Wojna ludów czyli inaczej Wiosna Ludów nazwano tak serię zrywów rewolucyjnych. Objęła ona całą Europę i charakteryzowała się kilkoma nurtami między innymi nurtem narodowym, ustrojowym czy też społecznym.
• Bitwa pod Waterloo ⇒ 18 czerwca 1815. Była to ostatnia bitwa Napoleona Bonaparte. Napoleon stoczył walkę z Wellingtonem. Początkowo wygrywał jednak po nadejściu armii Blüchera odniósł klęskę i 100 tysięczna armia francuska przestała istnieć. Po tym starciu Napoleon ponownie abdykował.
• Wynalezienie maszyny parowej ⇒ 1763 rok. Wynalazcą maszyny parowej był James Watt. Należy jednak podkreślić, że on po prostu udoskonalił inny wynalazek - silnik parowy, a za jego wynalazcę uważa się Thomasa Newcomena.

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

z.1

[tex]\frac{1}{3}-0.(3)=0\\-\sqrt{3}+1\frac{7}{9}=-\sqrt{3}+\frac{16}{9}=-\sqrt{\frac{3\cdot81}{81}}+\sqrt{\frac{16\cdot16}{81}}=-\sqrt{\frac{243}{81}}+\sqrt{\frac{256}{81}} =\frac{-\sqrt{243}+\sqrt{256}}{9} =(*)[/tex]

(*) jest większe od zera, bo [tex]\sqrt{256}-\sqrt{243} > 0[/tex]

Więc odpowiedź B.

z.2

Proporcje(mnożenie na krzyż):

20  -------- 62.5%

x ----------- 37.5%

[tex]20\cdot37.5\%=x\cdot62.5\%\iff x=20\cdot\frac{37.5}{62.5}= 20 \cdot\frac{75}{125}=20\cdot\frac{3}{5}=4\cdot3=12[/tex]

B.12

z.3

[tex]a=3log_{8}4=log_{8}4^3=log_{8}(2^2)^3=log_{8}(2^3)^2=2\cdot log_{8}2^3=2\cdot log_{8}8=2\cdot 1 = 2[/tex]

Trzeba pamiętać, że

[tex]log_ab^c=c\cdot log_ab\\log_aa=1[/tex]

a>0 i a!=1

C.2

z.4

[tex](3-\sqrt{5})^2=3^2-2\cdot3\cdot\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=9-6\sqrt{5}+5=14-6\sqrt{5}[/tex]

C.[tex]14-6\sqrt{5}[/tex]

z.5

[tex]5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}+5^{100}=5\cdot5^{100}=5^{101}[/tex]

Odpowiedź B.

z.6

x = 100%x - cena początkowa towaru

Najpierw obniżka o 30% od pierwotnej ceny:

100%x-30%*x=70%*x

Później obniżka o 20% od późniejszej ceny(czyli z tych 70%*x)

70%x-20%*70%x=70%x-14%x=56%x

O ile obniżono cenę towaru?

Na początku było 100%, a teraz jest 56%. Zatem obniżono o 44%.

Odpowiedź D. 44%

z.7

Z treści zadania wynika, że (6/x)=((6-2)/(x-3)):

[tex]\frac{6}{x}=\frac{6-2}{x-3}=\frac{4}{x-3}\\6\cdot(x-3)=4x\iff 6x-18=4x\iff 6x-4x=18 \iff 2x=18 \iff x=9[/tex]

Pierwotny ułamek: [tex]\frac{6}{9}[/tex]

Odpowiedź D.[tex]\frac{6}{9}[/tex]

z.8

[tex]K_n=K\cdot(1+\frac{p}{100})^n\\\\\verb|p - oprocentowanie w skali rocznej|\\\verb|n - liczba lat kapitalizacji|\\[/tex]

Odsetki kapitalizują się co pół roku, czyli to jest oprocentowanie 6% w skali pół roku.

U nas:

[tex]\verb|K=500|\\\verb|n=4|\\\verb|p=6%/2=3%|\\K_4=500\cdot(1+\frac{3}{100})^{4}=500\cdot(1.03)^4[/tex]

Odpowiedź D.

z.9

[tex]5\frac{3}{11}-2\frac{1}{11}\cdot\sqrt[3]{-8}=\frac{58}{11}+\frac{23\cdot2}{11}=\frac{104}{11}[/tex]

odwrotność, czyli licznik z mianownikiem się zamieniają miejscami

[tex](\frac{104}{11})^{-1}=\frac{11}{104}[/tex]

Odpowiedź B.[tex]\frac{11}{104}[/tex]

z.10

[tex]\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{3}=(3)^{\frac{1}{3}}\cdot(3)^{\frac{1}{6}}=3^{(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})}=3^{\frac{3}{6}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}[/tex]

Odpowiedź D.[tex]\sqrt{3}[/tex]

z.11

[tex]log_{2}(log20+log5)=log_{2}(log(20\cdot5))=log_2(log100)=log_2(log10^2)=log_2(2\cdot log10)=log_2(2\cdot 1)=log_22=1[/tex]

Skorzystałem z tego, że

[tex]log_ab+log_ac=log_a(b\cdot c)\\log_aa=1[/tex]

A, i jak nie ma podstawy logarytmu napisanej(ta malutka liczba na dole logarytmu) to zakładamy, że podstawa wynosi '10'.

Odpowiedź C.1

z.12

[tex]2x-4<10 \iff 2x < 14 \iff x < 7\\x \in (-\infty, 7)[/tex]

Odpowiedź A.

z.13

[tex]2\sqrt{50}-4\sqrt{8}=2\sqrt{5^2\cdot2}-4\sqrt{2^2\cdot 2}=2\cdot 5\sqrt{2}-4\cdot 2\sqrt{2}=10\sqrt{2}-8\sqrt{2}=2\sqrt{2}=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}[/tex]

Odpowiedź A.

z.14

Wartość bezwzględna z x:

[tex]|x|=|\frac{(\frac{3}{2})^2-\frac{1.2}{4.8}}{\frac{-7}{3}\cdot\frac{1}{7}}| = |\frac{\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{3}}|=|\frac{\frac{8}{4}}{-\frac{1}{3}}|=|\frac{2}{-\frac{1}{3}}|=2\cdot 3 = 6[/tex]

Odpowiedź B.6

z.15

Lecimy po kolei:

[tex](0.1)^{-3}=(\frac{1}{10})^{-3}=10^{3}=1000 > 1[/tex]

Odpowiedź A.

z.16

[tex](\frac{3}{5})^5\cdot(\frac{5}{3})^4=\frac{3^5}{5^5}\cdot \frac{5^4}{3^4}=\frac{3}{5}[/tex]

Odpowiedź C.

z.17

[tex]\frac{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3\cdot3-2\cdot4}{12}}{\frac{2\cdot2-1\cdot3}{6}}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}[/tex]

Odpowiedź B.

z.18

[tex]x^{0.1205}=6\\x^{0.3615}=?\\x^{0.3615}=(x^{0.1205})^{3}=6^3=216[/tex]

Odpowiedź B. 216

z.19

Jak sobie obliczysz, to:

[tex]\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=5.0952410538477686886988998283451518176762066637391203088010270264...[/tex]W zaokrągleniu do 0.01 wychodzi to jakieś 5.10

Odpowiedź C.5,10

z.20

[tex]4^{log_{2}5}=(2^2)^{log_{2}5}=2^{2log_{2}5}=2^{log_{2}25}= 25[/tex]

Korzystamy tutaj tylko z tego, że:

[tex]a^{log_{a}b}=b[/tex]

z.21

[tex]|1.(41)-\sqrt{2}| = \sqrt{2}-1.(41)[/tex] <---- bo wartość bezwzględna musi być dodatnia, a pierwiastek z dwoch jest wiekszy niz 1.(41)

Odpowiedź C.

z.22

Jak na tym diagramie rozróżnić załogę i pasażerów II klasy?

Liczba podróżujących 3. klasą:

[tex]2200\cdot 0.4=880[/tex]

Załóżmy, że załoga to te 32% całkowitej liczby ludzi:

[tex]2200\cdot 0.32=704[/tex]

W poleceniu mamy określić o ile procent liczba podróżujących 3. klasą jest większa od liczby członków załogi, zatem:

[tex]\frac{880-704}{704}\cdot100\%=\frac{176}{704}\cdot100\%=25\%[/tex]

Odpowiedź B. 25%

z.23

Liczba 4 nie należy do przedziału A, bo przedział A jest prawostronnie otwarty(czyli jest bez liczby 4).

C. należy tylko do przedziału B

z.24

Hmmm, pomnóżmy ten ułamek przez specjalnie spreparowaną jedynkę(w tym przypadku chcemy pozbyć się niewymierności z mianownika, więc pomnożymy sobie dopełnieniem do wzoru skróconego mnożenia: (a-b)(a+b)=a^2-b^2, czyli w tym przypadku [tex]\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}[/tex])

[tex]\frac{x}{y}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}= \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{4+4\sqrt{3}+3}{4-3}=\frac{7+4\sqrt{3}}{1}=7+4\sqrt{3}[/tex]

A jak wiemy, liczba niewymierna + liczba wymierna = liczba niewymierna

Odpowiedź B. liczba niewymierna

z.25

[tex]A=(5^4)^3=5^{12}\\B=5^5+5^5=2\cdot 5^5\\C=5^{12}:5^{7}=5^{12-7}=5^5\\D=5^3\cdot5^6=5^{3+6}=5^9[/tex]

Jak można zauważyć:

[tex]5^{12} > 5^9 > 2\cdot 5^5 > 5^5[/tex]

Zatem  A>D>B>C

Odpowiedź B. A>D>B>C

1. Odłożywszy telefon, wróciła do czytania książki.

odłożywszy [tex]\longrightarrow[/tex] odłożyć - aspekt dokonany

2. Odkładając telefon, przyglądał się widokowi za oknem.

odkładając [tex]\longrightarrow[/tex] odkładać - aspekt niedokonany

3. Usłyszawszy budzik, z ciężkim westchnieniem wstała.

usłyszawszy [tex]\longrightarrow[/tex] usłyszeć - aspekt dokonany

4. Umywszy zęby, szybko się ubrała.

umywszy [tex]\longrightarrow[/tex] umyć - aspekt dokonany

5. Myjąc zęby, przeglądała się w lustrze.

myjąc [tex]\longrightarrow[/tex] myć - aspekt niedokonany

Aspekt dokonany czasownika przedstawia czynność zakończoną, natomiast aspekt niedokonany ukazuje czynność niezakończoną, trwającą, powtarzalną. W powyższych zdaniach mamy do czynienia z imiesłowami przysłówkowymi współczesnymi i uprzednimi. Można zauważyć, że imiesłowem przysłówkowym uprzednim (zakończonym na -łszy, -wszy, np. odłożywszy, usłyszawszy, umywszy) określamy czynność, która wydarzyła się przed inną czynnością, zatem możemy podejrzewać, że jest to czynność zakończona. Np. w trzecim przykładzie: najpierw usłyszała budzik (czynność dokonana), a dopiero później wstała. Natomiast imiesłów przysłówkowy współczesny (zakończony na -ąc, np. odkładając, myjąc) opisuje czynności trwające w tym samym czasie, np. w drugim przykładzie: jednocześnie odkładał telefon (czynność niedokonana) i przyglądał się widokowi za oknem, jednak nie mamy powodów by twierdzić, że telefon został finalnie odłożony. Porównując do pierwszego przykładu - najpierw odłożyła telefon, a następnie wróciła do czytania książki - wiemy, że telefon wcześniej został odłożony (czynność dokonana), a dopiero potem wróciła do czytania książki.

Po powyższych przykładach widać, że czasowniki w aspekcie dokonanym i niedokonanym mogą się różnić końcówką (np. odłożyć - odkładać) lub pojawieniem się przedrostka (np. myć - umyć).