W zakładzie mleczarskim produkuje się jogurty w siedmiu smakach. Pakuje się je w pudełka po 16 sztuk - po 4 sztuki w jednym smaku. Ile rożnych zestawów smakowych można skomponować w ten sposób? A. 840 B. 2401 C. 256 D. 1972.

Wszystkich możliwości opuszczenia windy przez trójkę pasażerów mających do dyspozycji 10 pięter jest:

{Bo każdy z pasażerów ma 10 pięter do wyboru}

A - zdarzenie, że każdy wysiądzie na innym piętrze.

Zatem:

Pierwsza wysiadająca osoba ma do wyboru 10 pięter.

Druga wysiadająca osoba ma do wyboru 9 pięter (bo nie może wysiąść na tym, na którym wysiadła pierwsza).

Trzecia wysiadająca osoba ma do wyboru 8 pięter (bo nie może wysiąść na tym, na którym wysiadła pierwsza ani na tym, na którym wysiadła druga).

Czyli zgodnie z regułą mnożenia takich możliwości jest

Zatem, prawdopodobieństwo, że każdy wysiądzie na innym piętrze wynosi:

             [tex]\large\boxed{\boxed{\bold{P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}= \dfrac{720}{1000}= \dfrac{18}{25}}}}[/tex]

• południk - umowna linia na powierzchni Ziemi łącząca biegun północny z południowym
• równoleżnik - okrąg powstały w miejscu przecięcia płaszczyzny prostopadłej do osi ziemskiej z powierzchnią Ziemi
• półkula - jedna z dwóch części kuli ziemskiej
• południk zerowy - południk przechodzący przez obserwatorium w Greenwich, od którego liczy się długość geograficzną na wschód i na zachód
• Długość geograficzna - kąt zawarty między półpłaszczyzną południka początkowego i południka przechodzącego przez dany punkt na powierzchni Ziemi.
• szerokość geograficzna - kąt pomiędzy linią przechodzącą przez dany punkt i środek Ziemi, a płaszczyzną równika

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

6280*300 = 6280*3 = 18840  to 6280*300 = 6280*300 = 1884000

6280*370 = 6280*300 = 1884000

...................... + 6280*70 = + 439600                                ____________________________                     ..............................................= 2323600

628*307 = 628*300 = 188400                                                                        + 628*7 = .........................+ 4396                                     __________________________                                            ....................................... = 192796

628*7030 = 628*7000 = 4396000                                          ............................ + 628*30 = + 18840                               ____________________________                                 ............................................. = 4414840

6280*70030 = 6280*70000 = 43960000                               ................................... + 6280*30 = + 188400

Rozwiązanie:

Szereg:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}[/tex]

Zauważmy, że:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(x^{2n+1})'=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'[/tex]

Teraz łatwo znaleźć sumę - mamy tutaj szereg geometryczny o pierwszym wyrazie [tex]x[/tex] i ilorazie [tex]-x^{2}[/tex] :

[tex]$\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'=\Big( \frac{x}{1+x^{2}}\Big)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}[/tex]

Przedział zbieżności:

Zaczynamy od promienia zbieżności, który znajdziemy z warunku zbieżności szeregu geometrycznego:

[tex]|-x^{2}| < 1 \iff |x^{2}| < 1 \iff |x|^{2} < 1 \iff|x| < 1 \Rightarrow R=1[/tex]

Teraz musimy jeszcze sprawdzić brzegi:

Dla [tex]x=-1[/tex] :

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)(-1)^{2n}= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)[/tex]

Ten szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, nawet nie liczę tej prostej granicy.

Dla [tex]x=1[/tex] sytuacja jest taka sama, szereg jest rozbieżny.

Ostatecznie przedziałem zbieżności jest:

[tex]I=(-1,1)[/tex]

Teraz mamy obliczyć sumę:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n} = -1 +\frac{3}{4}+ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}[/tex]

Sumę szeregu z prawej strony obliczymy, korzystając z wcześniej wyprowadzonego wzoru, wystarczy, że za [tex]x[/tex] podstawimy [tex]$\frac{1}{2}[/tex] :

[tex]$ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{(1+(\frac{1}{2})^{2})^{2}}=\frac{12}{25}[/tex]

Ostatecznie:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=-1+\frac{3}{4} +\frac{12}{25}=\frac{23}{100}[/tex]