Oblicz. Z pierwszych dwóch wyników korzystaj w nastepnych zadaniach. Obliczanie w słupkach mnożenie 6280*300 ,6280*370 , 628*307, 628*7030, 6280*70030.

• południk - umowna linia na powierzchni Ziemi łącząca biegun północny z południowym
• równoleżnik - okrąg powstały w miejscu przecięcia płaszczyzny prostopadłej do osi ziemskiej z powierzchnią Ziemi
• półkula - jedna z dwóch części kuli ziemskiej
• południk zerowy - południk przechodzący przez obserwatorium w Greenwich, od którego liczy się długość geograficzną na wschód i na zachód
• Długość geograficzna - kąt zawarty między półpłaszczyzną południka początkowego i południka przechodzącego przez dany punkt na powierzchni Ziemi.
• szerokość geograficzna - kąt pomiędzy linią przechodzącą przez dany punkt i środek Ziemi, a płaszczyzną równika

Mamy do wyboru siedem różnych smaków i wybieramy z nich 4 różne

Pierwszy smak może być dowolny z 7 możliwych.

Drugi smak, nie może być taki jak pierwszy, czyli mamy do wyboru 6 możliwych.

Trzeci smak, nie może być taki jak pierwszy, ani taki jak drugi, czyli zostało do wyboru 5 możliwych.

Czwarty musi być inny niż trzy wybrane wcześniej, czyli zostały nam do wyboru 4 możliwe smaki.

Zatem, zgodnie z regułą mnożenie można skomponować:

różnych zestawów smakowych.

Rozwiązanie:

Szereg:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}[/tex]

Zauważmy, że:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(x^{2n+1})'=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'[/tex]

Teraz łatwo znaleźć sumę - mamy tutaj szereg geometryczny o pierwszym wyrazie [tex]x[/tex] i ilorazie [tex]-x^{2}[/tex] :

[tex]$\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'=\Big( \frac{x}{1+x^{2}}\Big)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}[/tex]

Przedział zbieżności:

Zaczynamy od promienia zbieżności, który znajdziemy z warunku zbieżności szeregu geometrycznego:

[tex]|-x^{2}| < 1 \iff |x^{2}| < 1 \iff |x|^{2} < 1 \iff|x| < 1 \Rightarrow R=1[/tex]

Teraz musimy jeszcze sprawdzić brzegi:

Dla [tex]x=-1[/tex] :

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)(-1)^{2n}= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)[/tex]

Ten szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, nawet nie liczę tej prostej granicy.

Dla [tex]x=1[/tex] sytuacja jest taka sama, szereg jest rozbieżny.

Ostatecznie przedziałem zbieżności jest:

[tex]I=(-1,1)[/tex]

Teraz mamy obliczyć sumę:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n} = -1 +\frac{3}{4}+ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}[/tex]

Sumę szeregu z prawej strony obliczymy, korzystając z wcześniej wyprowadzonego wzoru, wystarczy, że za [tex]x[/tex] podstawimy [tex]$\frac{1}{2}[/tex] :

[tex]$ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{(1+(\frac{1}{2})^{2})^{2}}=\frac{12}{25}[/tex]

Ostatecznie:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=-1+\frac{3}{4} +\frac{12}{25}=\frac{23}{100}[/tex]

Liczby naturalne to liczby calkowite dodatnie

[tex]a_1=1\\a_n=100\\r=1\\\\100=1+(n-1)*1\\100=1+n-1\\100=n\\\\S_{100}=\frac{1+100}2*100\\S_{100}=101*50=5050[/tex]