Na osi liczbowej zaznaczono liczby a równa się 1,8 i b równa się 6 3/5 oraz dwie różne liczby c i d z których każda leży dwukrotnie dalej od liczby a niż od liczby b Oblicz sumę liczb c i d ​.

[tex]a) \\\\\frac{1.2*\frac52}{0.16*\frac14}:\frac{4\frac14:0.01}{6.25*\frac4{25}}=\frac{\frac{6}{5}*\frac52}{\frac{4}{25}*\frac14}:\frac{\frac{17}4:\frac{1}{100}}{\frac{25}{4}*\frac4{25}}=\frac{\frac62}{\frac1{25}}:\frac{\frac{1700}{4}}{1}=\frac62*25*\frac4{1700}=\frac62*\frac4{68}=\frac61*\frac2{68}=6*\frac1{34}=\frac6{34}=\frac3{17}[/tex]

[tex]b) \\\\\frac{0.5+0.2*0.6}{\frac34-7:10}+\frac{0.7+0.2*\frac14}{0.7-0.4*\frac12}=\frac{0.5+0.12}{0.75-0.7}+\frac{0.7+0.05}{0.7-0.2}=\frac{0.62}{0.05}+\frac{0.75}{0.5}=12.4+1.5=13.9[/tex]

[tex]c)\\\\\frac{3+2\frac12*0.3}{3\frac34:(4.8-3*0.6)}*\frac{4+0.1*10}{1.6*5}=\frac{3+0.75}{3.75:3}*\frac{4+1}{8}=\frac{3.75}{1.25}*\frac58=3*\frac58=\frac{15}8=1\frac78=1.875[/tex]

Grupa składa się z 8 dziewcząt i 8 chłopców. Na ile sposobów można utworzyć mieszane pary taneczne?

Do wyboru mamy 8 dziewcząt i 8 chłopców. Stąd na podstawie reguły mnożenia mamy:

Za pomocą wzorów.

Wybieramy 1 element ze zbioru 8 elementowego. Do czynienia mamy z kombinacjami.

k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego A (k ≤ n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A.

Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

[tex]C^k_n={n\choose k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]

Podstawiamy k = 1 i n = 8 w przypadku dziewcząt i chłopców:

[tex]C^1_8\cdot C^1_8=\dfrac{8!}{1!(8-1)!}\cdot\dfrac{8!}{1!(8-1)!}=\dfrac{8!}{7!}\cdot\dfrac{8!}{7!}=\dfrac{7!\cdot8}{7!}\cdot\dfrac{7!\cdot8}{7!}=8\cdot8=64[/tex]

Odpowiedź:

1 Vaccines are very important.

2 You should have secure password.

3 I need to charge my phone.

4 My father used to be physicist.

5 I found some kind of device in my old backpack.

Wyjaśnienie:

1 galaxy solar system vaccine universe

2 password screen mouse printer

3 text sb find out charge top up

4 chemistry maths physicist biology

5 plug in break down switch off device

The flu vaccine saved the lives of many people.

First I need to enter my password.

If they find out, they'll be furious.

My uncle is a physicist.

Don't forget to switch off the device.

Odpowiedź:

[tex]\alpha+\beta+60=180\\\alpha=180-60-\beta\\\alpha=180-(60+\beta)[/tex]

[tex]\frac{c}{sin60}=\frac{15}{sin\alpha}=\frac{8}{sin\beta}=2R\\\\\frac{c}{\frac{\sqrt3}2}=\frac{15}{sin(180-(60+\beta))}=\frac{8}{sin\beta}=2R\\\\\frac{15}{sin(60+\beta)}=\frac{8}{sin\beta}\\\frac{15}{sin60cos\beta + sin\beta cos60}=\frac{8}{sin\beta}\\\frac{15}{\frac{\sqrt3}2 cos\beta + \frac12 sin\beta}=\frac{8}{sin\beta}\\\\15sin\beta=8(\frac{\sqrt3}2cos\beta+\frac12sin\beta)\\15sin\beta=4\sqrt3cos\beta+4sin\beta\\[/tex]

[tex]15sin\beta-4sin\beta=4\sqrt3cos\beta\\11sin\beta=4\sqrt3cos\beta\\sin\beta=\frac{4\sqrt3}{11}cos\beta[/tex]

[tex]sin^2\beta=(\frac{4\sqrt3}{11}cos\beta)^2\\sin^2\beta=\frac{48}{121}cos^2\beta\\sin^2\beta=\frac{48}{121}(1-sin^2\beta)\\sin^2\beta=\frac{48}{121}-\frac{48}{121}sin^2\beta\\\frac{169}{121}sin^2\beta=\frac{48}{121} /*\frac{121}{169}\\sin^2\beta=\frac{48}{169}\\sin\beta=\frac{4\sqrt3}{13}[/tex]

[tex]\frac{c}{\frac{\sqrt3}2}=\frac{8}{\frac{4\sqrt3}{13}}\\\frac{4\sqrt3}{13}*c=8*\frac{\sqrt3}2\\\frac{4\sqrt3}{13}c=4\sqrt3 /*\frac{13}{4\sqrt3}\\c=13[/tex]

[tex]\frac{c}{sin60}=2R\\\frac{13}{\frac{\sqrt3}2}=2R\\13:\frac{\sqrt3}2=2R\\13*\frac{2}{\sqrt3}=2R *\frac12\\\frac12*13*\frac{2}{\sqrt3}=R\\R=\frac{13}{\sqrt3}\\R=\frac{13\sqrt3}3[/tex]

[tex]p=\frac{8+15+13}2=\frac{36}2=18[/tex]

[tex]r=\frac{8*15*13}{4*\frac{13\sqrt3}3*18}\\r=\frac{5}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}3[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

W dowolnym trojkacie stosunek dlugosci dowolnego boku do sinusa kata naprzeciw tego boku jest staly i rowny dlugosci srednicy okregu opisanego na tym trojkacie.

[tex]\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R[/tex]

Promien okregu wpisanego w trojkat mozna obliczyc ze wzoru

[tex]r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\[/tex]

gdzie p to polowa obwodu trojkata, czyli [tex]p=\frac{a+b+c}2[/tex]

W przypadku gdy znamy promien okregu opisanego na trojkacie (R), to promien okregu wpisanego mozna obliczyc ze wzoru: [tex]r=\frac{abc}{4Rp}[/tex]