prosze o nuty i akordy na giare do piosenki :Pies na medal

„Opowieść Wigilijna” opowiada o starym skąpcu Ebenezerze Scrooge'u, który nienawidzi świąt Bożego Narodzenia i nie rozumie zamieszania wokół tych świąt. Jest zły na cały świat i nigdy nie pomaga biednym, mimo własnego bogactwa. W Wigilię Bożego Narodzenia Scrooge'a odwiedzają trzy duchy, które pokazują mu przeszłość, teraźniejszość i przyszłość i pomagają mu naprawić swoje błędy.

Po wizycie duchów Scrooge nagle uświadamia sobie, że najważniejszą rzeczą w życiu nie są pieniądze i bogactwo, ale życzliwa postawa i współczucie.

,,Opowieść Wigilijna" Dickensa opowiada historię Ebenezera Scrooge'a, który jest samotnym człowiekiem nie rozumiejącym idei Bożego Narodzenia. Jest człowiekiem skąpym, nie dbającym o nikogo prócz siebie. Zostaje odwiedzony przez trzy duchy: przeszłych, teraźniejszych i przyszłych świąt. W trakcie lektury następuje jego przemiana. Od tego czasu jest nowym człowiekiem, który chce pomagać innym.

Rozwiązanie:

Szereg Taylora:

[tex]$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}[/tex]

W przypadku [tex]x_{0}=0[/tex] szereg określony jest wzorem:

[tex]$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}[/tex]

[tex]\bold{(a)}[/tex]

[tex]y=\cos^{2}x[/tex]

Kilka pierwszych pochodnych:

[tex]y'=-2\cos x \sin x=-\sin2x[/tex]

[tex]y''=-2\cos 2x[/tex]

[tex]y^{(3)}=4 \sin 2x[/tex]

[tex]y^{(4)}=-8 \cos 2x[/tex]

Zatem:

[tex]$\cos^{2}x=\frac{\cos(0)}{0!}x^{0} -\frac{\sin(0)}{1!}x-\frac{2\cos(0)}{2!}x^{2}+\frac{4 \sin (0)}{3!} x^{3}+\frac{8\cos 2x}{4!}x^{4} +...=[/tex]

[tex]$=1 -x^{2} +\frac{x^{4}}{3} +...[/tex]

Aby znaleźć zapis z użyciem sumy, można posłużyć się dobrze znanym rozwinięciem funkcji [tex]\cos x[/tex] w szereg Maclaurina:

[tex]$\cos x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}[/tex]

Teraz wystarczy zauważyć, że:

[tex]$\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2} =\frac{1}{2} +\frac{\cos 2x}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} (2x)^{2n}=[/tex]

[tex]$=1+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n} \cdot 2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n}[/tex]

[tex]\bold{(b)}[/tex]

[tex]$y=e^{-x^{2}}[/tex]

Tutaj nawet szkoda liczyć pochodnych, lepiej od razu postarajmy się zapisać to z użyciem sumy. Użyjemy znanego rozwinięcia:[tex]$e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}[/tex]

Mamy:

[tex]$e^{-x^{2}}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-x^{2})^{n}}{n!} =\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n}[/tex]

Teraz możemy zapisać pierwsze trzy wyrazy:

[tex]$e^{-x^{2}}=1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+...[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

[tex]\int\limits ({5x^{2} -6x+3-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2} } ) } \, dx =[/tex]

[tex]=5\int\limits {x^{2} } \, dx -6\int\limits {xdx }+3\int\limits {dx }-2\int\limits {\frac{dx}{x } }+5\int\limits {x^{-2} dx }=[/tex]

[tex]=\frac{5}{3} x^{3} -6*\frac{x^{2} }{2} +3x-2ln|x|+5*\frac{x^{-1} }{-1}+C =[/tex]

[tex]=\frac{5}{3} x^{3} -3x^{2} +3x-2ln|x|-\frac{5}{x}+C[/tex]

b)

[tex]\int\limits {\frac{x}{1+x^{2} } \, dx =[/tex]

stosujemy podstawienie: [tex]1+x^{2} =t ,[/tex]   [tex]2xdx=dt[/tex] [tex]/:2[/tex]  ,  [tex]xdx=\frac{dt}{2}[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} \int\limits {\frac{dt}{t} } \, =\frac{1}{2} ln|t|+C_{1} = \frac{1}{2} ln|1+x^{2} |+C[/tex]

c)

[tex]\int\limits {\frac{xdx}{(x^{2} +3)^{6} } }=[/tex]

stosujemy podstawienie: [tex]x^{2} +3=t[/tex]  , [tex]2xdx=dt[/tex]  [tex]/:2[/tex] ,   [tex]xdx=\frac{dt}{2}[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} \int\limits {\frac{dt}{t^{6} } }=\frac{1}{2} \int\limits {t^{-6} dt }=\frac{1}{2} \frac{t^{-5} }{-5} +C_{1} =-\frac{1}{10} *\frac{1}{t^{5} }+C_{1} =-\frac{1}{10t^{5} } +C_{1} =[/tex]

[tex]=-\frac{1}{10(x^{2} +3)^{5} }+C[/tex]

------------------

[tex]\int\limits {dx }=x+C[/tex]

[tex]\int\limits {\frac{dx}{x} }=ln|x|+C[/tex]

[tex]\int\limits {x^{n} dx }=\frac{x^{n+1} }{n+1} +C[/tex]

1. This article doesn't make sense.
2. You'll have to wait in a line to get the tickets.
3. None of my colleagues take interest in my work.
4. If we don't meet the deadline, we'll be in terrible trouble.
5. If you feed our cat while we're away, I'll return the favour.

PRZETŁUMACZENIE WYBRANYCH ZWROTÓW

• makes sense ➟ (coś) ma sens
• a line ➟ kolejka (potocznie)
• meet the deadline ➟ termin, do którego należy się wyrobić
• return the favour ➟ odwdzięczyć się

Powodzenia w dalszej eksploracji języka angielskiego!