Kat alfa jest ostry i spełniona jest równość sin alfa - cos alfa =pierwiastek z 3 /4. Oblicz wartość wyrażenia (sin alfa +cos alfa) 2+4.

Temat:
Matematyka
Autor:
faith31
Utworzono:
1 rok temu

Odpowiedzi 1

Witaj :)

Z treści zadania wiemy, że:

[tex]\alpha \in(0^\circ;90^\circ)\ \ \wedge \ \ \ \sin\alpha-\cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]

Podnieśmy obustronnie równość do kwadratu:

[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=(\frac{\sqrt{3}}{4})^2\\\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha +\cos^2\alpha=\frac{3}{16} \\1+(-2\sin\alpha\cos\alpha)=\frac{3}{16}\\ -2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{16}-1\\ -2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{13}{16}\ / \cdot (-1)\\ 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{13}{16}[/tex]

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]

Oraz "jedynki trygonometrycznej":

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]

Wyznaczyliśmy z tego podwojony iloczyn sinusa i cosinusa kąta alfa, ponieważ będzie nam to potrzebne do obliczenia wartości głównego wyrażenia.

Zajmujmy się teraz głównym wyrażeniem, które wygląda następująco:

[tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2+4[/tex]

Rozwińmy je korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2+4=sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha+4=\\= 1+\frac{13}{16}+4 =\frac{16+13+64}{16}=\frac{93}{16}[/tex]

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]

"Jedynki trygonometrycznej":

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]

Oraz wyznaczonej wartości podwojonego iloczynu sinusa i cosinusa kąta alfa:

[tex]2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{13}{16}[/tex]

Wobec powyższych obliczeń:

[tex]\Huge \boxed{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+4=\frac{93}{16} }[/tex]

Autor:

frecklessimon
Oceń odpowiedź:
8

Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!

Can't find the answer?

Other related questions that may help you

Oceń prawdziwość podanych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe. PF Mapę można zorientować w terenie tylko za pomocą kompasu. Na zorientowanej mapie kierunek północny pokrywa się z kierunkiem północnym w terenie. PF Na mapach kierunek wschodni wyznacza strzałka. P F 82