Równanie [tex]|5-2x|=\frac{3p-2}2[/tex] ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków dla [tex]p\in(4,+\infty)[/tex].
Równanie z parametrem
W równaniach występuje pewna zmienna równania, czyli niewiadoma, względem której równanie to rozwiązujemy, czyli wyznaczamy jej wartość. Najczęściej spotykanym oznaczeniem niewiadomej w równaniu jest litera x.
W równaniu z parametrem pojawia się dodatkowa litera, czyli parametr. Zastępuje on pewną liczbę. W zależności od równania wartość parametru może wpływać na ilość rozwiązań równania.
Mamy równanie [tex]|5-2x|=\frac{3p-2}2[/tex], [tex]p\in\mathbb{R}[/tex]. Przekształcimy je tak, aby po prawej stronie dostać sam parametr.
[tex]|5-2x|=\frac{3p-2}2/*2\\2|5-2x|=3p-2/+2\\2|5-2x|+2=3p/:3\\\frac23|5-2x|+\frac23=p[/tex]
Potraktujmy lewą stronę równania jako funkcję zmiennej x, czyli [tex]f(x)=\frac23|5-2x|+\frac23[/tex]. Wykres jej mamy w załączniku.
Wartości parametru p (które są jednocześnie wartościami naszej funkcji) to linie poziome zaznaczone na wykresie. Dla [tex]p=\frac23[/tex] mamy jedno rozwiązanie równania. Dla [tex]p\in(\frac23,4)[/tex] mamy dwa rozwiązania dodatnie. Dla [tex]p=4[/tex] mamy jedno rozwiązanie dodatnie, drugie równe 0. Dla [tex]p\in(4,+\infty)[/tex] równanie ma dwa rozwiązania różnych znaków.
Dla [tex]p\in(-\infty,\frac23)[/tex] równanie nie ma rozwiązań.
Zatem dla [tex]p\in(4,+\infty)[/tex] równanie [tex]|5-2x|=\frac{3p-2}2[/tex] ma dwa rozwiązania różnych znaków.