Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 48 pierwiastek z 3. Przekątna ściany bocznej tego graniastosłupa tworzy z krawędzią boczną kąt 30stopni. Oblicz jego objętość

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

farbka-farba

tubka-tuba

staw-stawik

kubki-kubek

kredka-kredeczka

trawka-trawa

liczę na najjj

W obu przypadkach korzystamy z tzw. jedynki trygonometrycznej:

[tex]sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1 \ \ \rightarrow \ \ sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha \ \ \rightarrow \ \ 1-sin^{2}\alpha = cos^{2}\alpha[/tex]

[tex]b)\\\\L = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha = cos^{2}\alpha - (1-cos^{2}\alpha) = cos^{2}\alpha -1+cos^{2}\alpha = 2cos^{2}\alpha - 1\\\\P = 2cos^{2}\alpha - 1\\\\\underline{L = P}[/tex]

[tex]c)\\\\L = sin\alpha\cdot(\frac{1}{sin\alpha}-sin\alpha) = sin\alpha\cdot(\frac{1-sin^{2}\alpha}{sin\alpha}) = sin\alpha\cdot\frac{cos^{2}\alpha}{sin\alpha} = cos^{2}\alpha\\\\P = cos^{2}\alpha\\\\\underline{L = P}[/tex]

[tex]Zal:\\sin\alpha \neq 0, \ czyli \ \alpha \neq k\pi \ i \ k \in C[/tex]

[tex]e = 12 \ cm\\f = 16 \ cm\\H = 10 \ cm\\P_{c} = ?\\V = ?[/tex]

Obliczamy pole podstawy (rombu) tego graniastosłupa:

[tex]P_{p} = \frac{e\cdot f}{2} = \frac{12\cdot16}{2} = 96 \ cm^{2}[/tex]

Aby obliczyć pole boczne, musimy obliczyć długość boku rombu a. Wiemy, że przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym, więc w postawie mamy 4 trójkąty prostokątne przystające o przyprostokątnych e/2, f/2 i przeciwprostokątnej a - bokiem rombu.

Z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]a^{2} = (\frac{e}{2})^{2} + (\frac{f}{2})^{2}\\\\a^{2} = (\frac{12}{2})^{2} + (\frac{16}{2})^{2}\\\\a^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36+64 = 100\\\\a = \sqrt{100}\\\\\underline{a = 10 \ cm}[/tex]

Obliczamy pole boczne:

[tex]P_{b} = 4aH = 4 \cdot10 \ cm\cdot10 \ cm = 400 \ cm^{2}[/tex]

Obliczamy pole całkowite tego graniastosłupa:

[tex]P_{c} = 2P_{p} + P_{b}\\\\P_{c} = 2\cdot96 \ cm^{2} + 400 \ cm^{2} =192 \ cm^{2}+400 \ cm^{2}\\\\\boxed{P_{c} = 592 \ cm^{2}}[/tex]

Obliczamy objętość graniastosłupa:

[tex]V = P_{p}\cdot H\\\\V = 96 \ cm^{2}\cdot10 \ cm\\\\\boxed{V = 960 \ cm^{3}}[/tex]