Mógłby mi ktoś pomoc w tych dwóch zadaniach? Ciągi!!!

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda następna powstaje przez dodanie do poprzedniej tej samej liczby r, zwanej różnicą ciągu.

W związku z tym, dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

                            [tex]\bold{r=a_{n+1}-a_n}[/tex]

Ciąg geometryczny to ciąg liczb, w którym każda następna powstaje przez pomnożenie poprzedniej przez tę samą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu.

W związku z tym, dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego:

                            [tex]\bold{q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}[/tex]

Mamy dane:

[tex]\bold{a_1=x\,,\quad a_2=\frac34\,,\quad a_3=y\,,\quad a_4=12}[/tex]

a₂, a₃ i a₄ tworzą ciąg geometryczny, zatem:

                         [tex]\bold{q=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}}\\\\\\\bold{\dfrac{y}{\frac34}=\dfrac{12}y\qquad/\cdot\frac34y}\\\\\\\bold{y^2=9}\\\\\bold{y=3\quad\vee\quad y=-3}[/tex]

Natomiast a₁, a₂ i a₃ tworzą ciąg arytmetyczny. Stąd:

                          [tex]\bold{r=a_2-a_1=a_3-a_2}\\\\\bold{\frac34-x=y-\frac34}\\\\\bold{-x=y-\frac64}\\\\\bold{x=-y+\frac32}\\\\\bold{x=-y+1\frac12}[/tex]

Czyli:

• dla y = 3 mamy:      [tex]\bold{x = -3 + 1\frac12 = -1\frac12}[/tex]          
• dla y = -3, mamy:   [tex]\bold{x = -(-3) + 1\frac12 = 4\frac12}[/tex]

Zatem mamy dwie pary x, y spełniające warunki zadania:

[tex]\large\boxed{\begin{cases}\bold{x=-1\frac12}\\\bold{y=3}\end{cases}\qquad lub\ \qquad \begin{cases}\bold{x=4\frac12}\\\bold{y=-3}\end{cases}}}[/tex]

Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o różnych wyrazach to:

                                  [tex]\bold{S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}}[/tex]

Czyli na sumę ośmiu początkowych wyrazów:   [tex]\bold{S_8=a_1\cdot\dfrac{1-q^8}{1-q}}[/tex]

Zatem, aby ją obliczyć potrzebujemy a₁ i q.

W związku z tym, że w ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez q, możemy zapisać wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego, jako:

                  [tex]\bold{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]

Mamy dane:

                    a₃ = 4   i   a₆ = 32

Ze wzoru na dowolny wyraz ciągu geometrycznego mamy:

             [tex]\bold{a_3=a_1\cdot q^2\qquad i \qquad a_6=a_1\cdot q^5}[/tex]

Czyli:

            [tex]\bold{a_1\cdot q^2=4\qquad i \qquad a_1\cdot q^5=32}[/tex]      

Zatem:

             [tex]\bold{a_1\cdot q^5=32}\\\\\bold{a_1\cdot q^2\cdot q^3=32}\\\\\bold{4\cdot q^3=32\qquad /:4}\\\\\bold{ q^3=8}\\\\\bold{q=2}[/tex]

Wstawiając wyznaczone q do wzoru na a₃ otrzymujemy:

[tex]\bold{a_3=4}\\\\\bold{a_1\cdot q^2=4}\\\\\bold{a_1\cdot 2^2=4}\\\\ \bold{4a_1=4\qquad/:4}\\\\\bold{a_1=1}[/tex]

Zatem, suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu:

[tex]\bold{S_8=1\cdot\dfrac{1-2^8}{1-2}}\\\\\bold{S_8=\dfrac{1-256}{-1}}\\\\\large\boxed{\bold{S_8=255}}[/tex]