Na początek znajdźmy związek między [tex]a_1[/tex] i [tex]r[/tex] w ciągu arytmetycznym.
[tex]S_7=14\\\frac{2a_1+(7-1)r}{2}*7=14\text{ }|:7\\\frac{2a_1+6r}{2}=2\\a_1+3r=2\\a_1=2-3r[/tex]
Stąd
[tex]a_4=a_1+3r=2-3r+3r=2\\a_5=a_1+4r=2-3r+4r=2+r\\a_{11}=a_1+10r=2-3r+10r=2+7r[/tex]
Wyrazy [tex]a_4[/tex], [tex]a_5[/tex], [tex]a_{11}[/tex] tworzą ciąg geometryczny, więc z tw. o sąsiadach
[tex]a^2_5=a_4*a_{11}\\(2+r)^2=2*(2+7r)\\4+4r+r^2=4+14r\\r^2-10r=0\\r(r-10)=0\\r=0\vee r=10[/tex]
Ale ciąg arytmetyczny jest rosnący, więc odrzucamy [tex]r=0[/tex].
Ostatecznie
[tex]r=10\\a_1=2-3*10=2-30=-28[/tex]
Zatem n-ty wyraz ciąg ma postać
[tex]a_n=a_1+(n-1)*r\\a_n=-28+(n-1)*10=-28+10n-10=10n-38[/tex]