Suma wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100 wynosi.

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

6280*300 = 6280*3 = 18840  to 6280*300 = 6280*300 = 1884000

6280*370 = 6280*300 = 1884000

...................... + 6280*70 = + 439600                                ____________________________                     ..............................................= 2323600

628*307 = 628*300 = 188400                                                                        + 628*7 = .........................+ 4396                                     __________________________                                            ....................................... = 192796

628*7030 = 628*7000 = 4396000                                          ............................ + 628*30 = + 18840                               ____________________________                                 ............................................. = 4414840

6280*70030 = 6280*70000 = 43960000                               ................................... + 6280*30 = + 188400

Rozwiązanie:

Szereg:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}[/tex]

Zauważmy, że:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(x^{2n+1})'=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'[/tex]

Teraz łatwo znaleźć sumę - mamy tutaj szereg geometryczny o pierwszym wyrazie [tex]x[/tex] i ilorazie [tex]-x^{2}[/tex] :

[tex]$\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'=\Big( \frac{x}{1+x^{2}}\Big)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}[/tex]

Przedział zbieżności:

Zaczynamy od promienia zbieżności, który znajdziemy z warunku zbieżności szeregu geometrycznego:

[tex]|-x^{2}| < 1 \iff |x^{2}| < 1 \iff |x|^{2} < 1 \iff|x| < 1 \Rightarrow R=1[/tex]

Teraz musimy jeszcze sprawdzić brzegi:

Dla [tex]x=-1[/tex] :

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)(-1)^{2n}= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)[/tex]

Ten szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, nawet nie liczę tej prostej granicy.

Dla [tex]x=1[/tex] sytuacja jest taka sama, szereg jest rozbieżny.

Ostatecznie przedziałem zbieżności jest:

[tex]I=(-1,1)[/tex]

Teraz mamy obliczyć sumę:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n} = -1 +\frac{3}{4}+ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}[/tex]

Sumę szeregu z prawej strony obliczymy, korzystając z wcześniej wyprowadzonego wzoru, wystarczy, że za [tex]x[/tex] podstawimy [tex]$\frac{1}{2}[/tex] :

[tex]$ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{(1+(\frac{1}{2})^{2})^{2}}=\frac{12}{25}[/tex]

Ostatecznie:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=-1+\frac{3}{4} +\frac{12}{25}=\frac{23}{100}[/tex]

Wszystkie możliwości:

[tex]|\Omega|=6^3=216[/tex]

Wszystkie sumy większe od 16:

[tex]6+6+6=18[/tex]

[tex]6+6+5=17[/tex]

[tex]6+5+6=17[/tex]

[tex]5+6+6=17[/tex]

[tex]|A|=4[/tex]

Prawdopodobieństwo:

[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{4}{216}=\dfrac{1}{54}[/tex]

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest zapisanie równań reakcji chemicznych podanych w podpunktach.

[tex]CH_3-CH_2-CH_2-OK+H_2O\right\rightarrow CH_3-CH_2-CH_2-OH +KOH[/tex]

Komentarz: Propan-1-olan potasu to związek organiczny będący pochodną propan-1-olu. Należy do grupy związków zwanych alkoholanami. Alkoholany pod wpływem wody ulegają hydrolizie do odpowiedniego alkoholu, oraz wodorotlenku. W naszym przypadku produktami hydrolizy są propan-1-ol i wodorotlenek potasu. Należy zapamiętać, że hydroliza alkoholanów jest nieodwracalna, ponieważ alkohole nie reagują z zasadami i reakcja biegnąca w stronę lewą byłaby niemożliwa.

[tex]CH_3CH(OH)CH_3\xrightarrow {[O]} CH_3COCH_3[/tex]

Komentarz: Mamy tutaj do czynienia z reakcją utleniania propan-2-olu. Propan-2-ol należy do alkoholi II-rzędowych (takich, w których grupa hydroksylowa związana jest z II-rzędowym atomem węgla). Alkohole II-rzędowe w obecności utleniaczy utleniają się do ketonów. Produktem utleniania propan-2-olu jest propanon (aceton).

[tex]CH_2=CH_2\xrightarrow {KMnO_4} HO-CH_2-CH_2-OH[/tex]

Komentarz: W tej reakcji mamy do czynienia z utlenianiem alkenu (etenu) manganianem(VII) potasu. W wyniku utleniania tego związku otrzymujemy alkohol polihydroksylowy a dokładniej diol wicynalny. Diole wicynalne to alkohole dwuwodorotlenowe, w których grupy -OH są przyłączone przy sąsiednich atomach węgla. Produktem utleniania etenu jest 1,2-dihydroksoetan (etano-1,2-diol).

[tex]CH_2Br-CH_2Br+2KOH\xrightarrow{H_2O}HO-CH_2-CH_2-OH+2KBr[/tex]

Komentarz: Mamy tu do czynienia z hydrolizą dibromopochodnej alkanu. W treści zadania nie podano, w jakim środowisku zachodzi reakcja, więc uznaje, że w wodnym. W wyniku hydrolizy zasadowej chlorowcopochodnych alkanów otrzymujemy alkohole. W naszym przypadku poddajemy hydrolizie dichlorowcopochodną, więc produktem będzie alkohol z dwiema grupami hydroksylowymi (diol). Produktem jest etano-1,2-diol.

[tex]2C_6H_4OH(CH_3)+2K\rightarrow 2C_6H_4OK(CH_3)+H_2\uparrow[/tex]

Komentarz: Jest to reakcja podstawionego fenolu z metalem alkalicznym (potasem). W reakcji tej bierze udział grupa hydroksylowa połączona z pierścieniem aromatycznym i otrzymujemy związek o nazwie 2-metylohydroksybenzenian potasu.