6. Rozwiąż równanie. A) x ^ 4 + 9 = 6x ^ 2 b) x ^ 2 - 1 = x ^ 4 - x ^ 2 :) 16x ^ 4 - 1 = 8x ^ 2 e) x ^ 4 - 24x ^ 2 = 25 d) 12x ^ 2 + 6 = 2 - 9x ^ 4 f) x ^ 4 + 2x ^ 2 = 2/3 * x ^ 4 - x ^ 2.

Odpowiedź:

A)

x1 = - √3,   x2 = √3

b)  

równanie nie ma rozwiązania  (jest sprzeczne) w zbiorze liczb rzeczywistych x ∈ R.

:)    

x1 = - (1 + √2)/4,    x2 = (1 + √2)/4

e)

x1 = - √(51/2),    x2 = √(51/2),    51/2 = 25½

d)

równanie nie ma rozwiązania.

f)

x = 0   jest rozwiązaniem tego równania.  

Szczegółowe wyjaśnienie:

Są to równania dwukwadratowe, które sprowadzamy do równań kwadratowych przez podstawienie:   x² = z ≥ 0

A)

x ^ 4 + 9 = 6x ^ 2     to   x⁴ - 6x² + 9 = 0   to  

podstawiamy:   x² = z ≥ 0

to     z² - 6z + 9 = 0    

[jeżeli zauważymy, że ostatnie równanie jest kwadratem dwumianu          (z - 3)²,  to nie musimy obliczać ∆, √∆, ...,]     to

(z - 3)² = 0    to   z = zo = 3,   wracamy do podstawienia:  x² = z ≥ 0  

to x² = 3   to   x1 = - √3,   x2 = √3   są rozwiązaniami tego równania

________________________________________   Sprawdzenie:

Rozwiązania równania podstawiamy do równania wyjściowego:

x⁴ - 6x² + 9 = 0    to    (-√3)⁴ -  6(-√3)² + 9 = 0    to    9 - 18 + 9 = 0,

(√3)⁴ -  6(√3)² + 9 = 0     to    9 - 18 + 9 = 0,  co należało sprawdzić.  

b)

x ^ 2 - 1 = x ^ 4 - x ^ 2    to    - x⁴ + x² - 1 = 0   /•(-1)    to   x⁴ + - x² + 1 = 0,

podst.:   x² = z    to     z² - z + 1 = 0    to     ∆ = 1 - 4 = - 3 < 0

to   równanie nie ma rozwiązania  (jest sprzeczne) w zbiorze liczb rzeczywistych x ∈ R.

:)

16x ^ 4 - 1 = 8x ^ 2    to    16x⁴ -  8x² - 1 = 0   podst.:   x² = z ≥ 0    to

16z² - 8z - 1 = 0    to    ∆ = 64 + 64 = 64•2    to   √∆ = √(64•2) = 8√2  to

z1 = (8 - 8√2)/32 < 0,  sprzeczne, odpada,  ponieważ   x² = z ≥ 0    

z = z2 = (8 + 8√2)/32 = 8(1 + √2)/32  = (1 + √2)/4       to    

x² = (1 + √2)/4    to    x1 = - (1 + √2)/4,    x2 = (1 + √2)/4

są rozwiązaniami tego równania.

e)

x ^ 4 - 24x ^ 2 = 25    to    x⁴ - 24x² - 25 = 0,   x² = z ≥ 0      to

z² - 24z  - 25 = 0    to   ∆ = 576 + 100 = 676    to   √∆ = √676 = 26  

to   z1 = (25 - 26)/2 < 0, sprzeczne, odpada,  ponieważ   x² = z ≥ 0      

z2 = z = (25 + 26)/2 = 51/2 = 50/2 + 1/2 = 25½

to   x² = 51/2   to  x1 = - √(51/2),    x2 = √(51/2),

są rozwiązaniami tego równania.

d)

12x ^ 2 + 6 = 2 - 9x ^ 4    to   9x⁴ + 12x² + 4 = 0,     x² = z≥ 0     to  

9z² + 12z  + 4 = 0    to   ∆ = 144 - 144 = 0     to  

z = zo = (-b/2a) = -12/18 < 0  jest sprzeczna, odpada,  bo   x² = z ≥ 0  

to  równanie nie ma rozwiązania.

f)

x ^ 4 + 2x ^ 2 = 2/3 * x ^ 4 - x ^ 2   to     x⁴ - (2/3)x⁴ + 3x² = 0     to  

(1/3)x⁴ + 3x² = 0    /•3      to    x⁴ + 9x² = 0,   x² = z ≥ 0     to  

z² + 9z = 0    to    z(z + 9) = 0    to    z1 = 0,  

z2 = - 9  odpada,  ponieważ     x² = z ≥ 0

to    z = z1 = 0    to    x² = 0   to   x = 0,

x = 0   jest rozwiązaniem tego równania.