Szereg Taylora ktoś pomoże, z góry dziękuję :)

1. W jakich jednostkach wyznaczana jest wartość momentu siły?

Moment siły to siła razy ramię.

[tex][M] = F\cdot r = N\cdot m= kg\cdot\frac{m}{s^{2}}\cdot m = \boxed{kg\cdot\frac{m^{2}}{s^{2}}}\\\\\underline{Odp. \ a)}[/tex]

2. Jak daleko odjedzie pociąg rozpędzający się do prędkości 20 m/s w czasie 100 s?

Rozwiązanie:

[tex]Dane:\\v_{o} = 0\\t = 100 \s\\v = 20\frac{m}{s}\\Szukane:\\s = ?[/tex]

Korzystamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej (v₀ = 0)

[tex]s = \frac{at^{2}}{2}\\\\ale\\\\a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v-v_{o}}{t} = \frac{v}{t} = \frac{20\frac{m}{s}}{100 \ s} = 0,2\frac{m}{s^{2}}\\\\s = \frac{0,2\frac{m}{s^{2}}\cdot(100 \ s)^{2}}{2}\\\\\boxed{s = 1000 \ m}\\\\\underline{Odp. \ c)}[/tex]

3. Jaka jest długość fali odpowiadająca pierwszej linii serii Lymana?

Rozwiązanie:

Wzór Rydberga dla serii Lymana ma postać:

[tex]\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{n^{2}})\\\\gdzie:\\\\R= 1,0974\cdot10^{7} \ m^{-1} \ - \ stala \ Rydberga\\\\n \ - \ to \ kolejne \ liczby \ naturalne \ poczynajac \ od \ 2 \ (n = 2,3,4, ...)[/tex]

[tex]\frac{1}{\lambda} = 1,0974\cdot10^{7} \ m^{-1}(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}})\\\\\frac{1}{\lambda} = 1,0974\cdot10^{7} \ m^{-1}(1-\frac{1}{4})\\\\\frac{1}{\lambda}=1,0974\cdot10^{7} \ m^{-1}\cdot\frac{3}{4}\\\\\frac{1}{\lambda}=0,82305\cdot10^{7} \ m^{-1}\\\\\boxed{\lambda = 1,22\cdot10^{-7} \ m = 122 \ nm}\\\\\underline{Odp. \ a)}[/tex]

4. Jaka jest siła potrzebna, aby poruszyć skrzynię o masie 200 \ kg przy współczynniku tarcia równym 0,2.

Rozwiązanie

[tex]m = 200 \ kg\\\mu = 0,2\\g = 10\frac{m}{s^{2}}\\Szukane:\\F_{t} = ?\\\\\\F_{t} = \mu \cdot m\cdot g\\\\F_{t} = 0,2\cdot 200 \ kg\cdot10\frac{m}{s^{2}}\\\\\boxed{F_{t} = 400 \ N}\\\\\underline{Odp. \ a)}[/tex]

„Opowieść Wigilijna” opowiada o starym skąpcu Ebenezerze Scrooge'u, który nienawidzi świąt Bożego Narodzenia i nie rozumie zamieszania wokół tych świąt. Jest zły na cały świat i nigdy nie pomaga biednym, mimo własnego bogactwa. W Wigilię Bożego Narodzenia Scrooge'a odwiedzają trzy duchy, które pokazują mu przeszłość, teraźniejszość i przyszłość i pomagają mu naprawić swoje błędy.

Po wizycie duchów Scrooge nagle uświadamia sobie, że najważniejszą rzeczą w życiu nie są pieniądze i bogactwo, ale życzliwa postawa i współczucie.

,,Opowieść Wigilijna" Dickensa opowiada historię Ebenezera Scrooge'a, który jest samotnym człowiekiem nie rozumiejącym idei Bożego Narodzenia. Jest człowiekiem skąpym, nie dbającym o nikogo prócz siebie. Zostaje odwiedzony przez trzy duchy: przeszłych, teraźniejszych i przyszłych świąt. W trakcie lektury następuje jego przemiana. Od tego czasu jest nowym człowiekiem, który chce pomagać innym.

Odpowiedź:

w załączniku

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

[tex]\int\limits ({5x^{2} -6x+3-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2} } ) } \, dx =[/tex]

[tex]=5\int\limits {x^{2} } \, dx -6\int\limits {xdx }+3\int\limits {dx }-2\int\limits {\frac{dx}{x } }+5\int\limits {x^{-2} dx }=[/tex]

[tex]=\frac{5}{3} x^{3} -6*\frac{x^{2} }{2} +3x-2ln|x|+5*\frac{x^{-1} }{-1}+C =[/tex]

[tex]=\frac{5}{3} x^{3} -3x^{2} +3x-2ln|x|-\frac{5}{x}+C[/tex]

b)

[tex]\int\limits {\frac{x}{1+x^{2} } \, dx =[/tex]

stosujemy podstawienie: [tex]1+x^{2} =t ,[/tex]   [tex]2xdx=dt[/tex] [tex]/:2[/tex]  ,  [tex]xdx=\frac{dt}{2}[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} \int\limits {\frac{dt}{t} } \, =\frac{1}{2} ln|t|+C_{1} = \frac{1}{2} ln|1+x^{2} |+C[/tex]

c)

[tex]\int\limits {\frac{xdx}{(x^{2} +3)^{6} } }=[/tex]

stosujemy podstawienie: [tex]x^{2} +3=t[/tex]  , [tex]2xdx=dt[/tex]  [tex]/:2[/tex] ,   [tex]xdx=\frac{dt}{2}[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} \int\limits {\frac{dt}{t^{6} } }=\frac{1}{2} \int\limits {t^{-6} dt }=\frac{1}{2} \frac{t^{-5} }{-5} +C_{1} =-\frac{1}{10} *\frac{1}{t^{5} }+C_{1} =-\frac{1}{10t^{5} } +C_{1} =[/tex]

[tex]=-\frac{1}{10(x^{2} +3)^{5} }+C[/tex]

------------------

[tex]\int\limits {dx }=x+C[/tex]

[tex]\int\limits {\frac{dx}{x} }=ln|x|+C[/tex]

[tex]\int\limits {x^{n} dx }=\frac{x^{n+1} }{n+1} +C[/tex]