Pomoże ktoś z tym ? Dziękuję

Rozwiązanie:

Szereg Taylora:

[tex]$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}[/tex]

W przypadku [tex]x_{0}=0[/tex] szereg określony jest wzorem:

[tex]$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}[/tex]

[tex]\bold{(a)}[/tex]

[tex]y=\cos^{2}x[/tex]

Kilka pierwszych pochodnych:

[tex]y'=-2\cos x \sin x=-\sin2x[/tex]

[tex]y''=-2\cos 2x[/tex]

[tex]y^{(3)}=4 \sin 2x[/tex]

[tex]y^{(4)}=-8 \cos 2x[/tex]

Zatem:

[tex]$\cos^{2}x=\frac{\cos(0)}{0!}x^{0} -\frac{\sin(0)}{1!}x-\frac{2\cos(0)}{2!}x^{2}+\frac{4 \sin (0)}{3!} x^{3}+\frac{8\cos 2x}{4!}x^{4} +...=[/tex]

[tex]$=1 -x^{2} +\frac{x^{4}}{3} +...[/tex]

Aby znaleźć zapis z użyciem sumy, można posłużyć się dobrze znanym rozwinięciem funkcji [tex]\cos x[/tex] w szereg Maclaurina:

[tex]$\cos x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}[/tex]

Teraz wystarczy zauważyć, że:

[tex]$\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2} =\frac{1}{2} +\frac{\cos 2x}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} (2x)^{2n}=[/tex]

[tex]$=1+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n} \cdot 2^{2n-1}}{(2n)!}x^{2n}[/tex]

[tex]\bold{(b)}[/tex]

[tex]$y=e^{-x^{2}}[/tex]

Tutaj nawet szkoda liczyć pochodnych, lepiej od razu postarajmy się zapisać to z użyciem sumy. Użyjemy znanego rozwinięcia:[tex]$e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}[/tex]

Mamy:

[tex]$e^{-x^{2}}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-x^{2})^{n}}{n!} =\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{n!} x^{2n}[/tex]

Teraz możemy zapisać pierwsze trzy wyrazy:

[tex]$e^{-x^{2}}=1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+...[/tex]

Odpowiedź:

w załączniku

1. This article doesn't make sense.
2. You'll have to wait in a line to get the tickets.
3. None of my colleagues take interest in my work.
4. If we don't meet the deadline, we'll be in terrible trouble.
5. If you feed our cat while we're away, I'll return the favour.

PRZETŁUMACZENIE WYBRANYCH ZWROTÓW

• makes sense ➟ (coś) ma sens
• a line ➟ kolejka (potocznie)
• meet the deadline ➟ termin, do którego należy się wyrobić
• return the favour ➟ odwdzięczyć się

Powodzenia w dalszej eksploracji języka angielskiego!

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

(załączniki)

Ogólnie, jeden z podstawowych wzorów na liczenie pochodnej funkcji, który ma do tego zadania zastosowania zastosowanie:

y = f(x) = x^{n}   to  pochodna  y' = f'(x) = df(x)/dx = dy/dx = nx^{n-1},

napisaliśmy tu specjalnie różne symbole oznaczania pochodnej, bo

takimi symbolami można zapisywać pochodną funkcji, ale w zadaniach

możemy zapisywać skrótem:  (x^n)' = nx^{n-1}, przyklady:

(x)' = (x¹)' = 1x^{1 - 1 = 0} = x° = 1     [bo każda liczba  a° = 1   czy  a¹ = a]

(x²)' = = 2x^{2 - 1 = 1} = 2x¹ = 2x;  (x³)' = 3x^{3 - 1 = 2} = 3x²;  (x⁴)' = 4x³, ...,

a)

(końcowy wynik powtórzyłem, bo bo nie wyraźnie mi się napisało).

Na samym końcu proszę dopisać:  x ≠ 0