Wyznacz ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych: [tex]f(x,y)=e^{x-1}(x+y^{2})[/tex]

[tex]|\frac{\sqrt{5} }{5} - 1| = 1 - \frac{\sqrt{5} }{5} \\\\|-1,5| = 1,5 \\\\|-1,5| > |\frac{\sqrt{5} }{5} - 1|[/tex]

12 - (-6) = 12 + 6 = 18

:)

Odpowiedź:

a)

√5 ≈ 2.2

a = | √5/5 - 1 | = | 2.2/5 - 1 | = | 0.44 - 1 | = | -0.56 | = 0.56

b = | -1.5 | = 1.5

więc:

a<b

b>a

b)

| -6 | + | 12 | = 6 + 12 = 18

odp: Odległość między liczbami -6 i 12 wynosi 18.

Szczegółowe wyjaśnienie:

P.S. Z punktem a (porównaj liczby) nie jestem do końca pewien bo dawno tego nie robiłem ale wydaje mi się że jest dobrze

Odpowiedź:

-5x + 2 ≤ x + 2(7x - 5)

-5x + 2 ≤ x + 14x - 10

-5x - x - 14x ≤ -10 - 2

-20x ≤ -12 |*(-1) !!!!

20x ≥ 12 |:20

x ≥ 12/20

x ≥ 6/10

x ≥ 3/5

Odp. x ≥ 3/5

a)

[tex]-5x+2 \leq x+2(7x-5)\\\\-5x+2\leq x + 14x - 10\\\\-5x+2 \leq 15x-10[/tex]

Przenosimy niewiadome na lewą stronę, wiadome liczby na prawą:

[tex]-5x-15x \leq -10-2\\\\-20x\leq -12 \ \ \ |:(-20)[/tex]

Jeśli przy x -ie stoi liczba, to dzielimy nierówność obustronnie przez to, co przy tym x-ie stoi. Ale uwaga: jeśli dzielimy (lub mnożymy) przez ujemną liczbę, to znak nierówności zmienia się na przeciwny.

[tex]x \geq \frac{12}{20}\\\\x \geq \frac{3}{5}\\\\\boxed{x \in \langle\frac{3}{5};+\infty)}[/tex]

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest określenie barwy fenoloftaleiny w roztworze octanu amonu, oraz jaką analizę należy przeprowadzić, aby wykryć kation niklu w próbce.

  Octan amonu to sól pochodząca od słabego kwasu octowego CH₃COOH i słabej "zasady" NH₃·H₂O. Słowo zasada użyłem w tym przypadku w cudzysłowie, ponieważ określenia takie jak "wodorotlenek amonu", lub "zasada amonowa" są wysoce niepoprawne dla wodnego roztworu amoniaku. Jako że jest to sól pochodząca od słabego kwasu i słabej zasady, możemy zapisać równanie hydrolizy tej soli:

[tex]CH_3COONH_4+H_2O\rightleftarrows CH_3COOH+NH_3\cdot H_2O[/tex]

Octan amonu jak każda sól amonowa jest dobrze rozpuszczalna w wodzie, więc możemy zapisać reakcję w sposób jonowy:

[tex]CH_3COO^-+NH_4^++H_2O\rightleftarrows CH_3COOH+NH_3\cdot H_2O[/tex]

Dochodzimy do wniosku, że mamy do czynienia z hydrolizą typu kationowo-anionowego, a odczyn takiego roztworu będzie obojętny. Czy aby na pewno? Aby to sprawdzić, musimy z tablic chemicznych odczytać stałe dysocjacji dla kwasu octowego oraz wodnego roztworu amoniaku:

[tex]K_a=1,75\cdot 10^{-5}\implies dla\ kwasu\ octowego \\K_b=1,75\cdot 10^{-5}\implies dla\ amoniaku[/tex]

Możemy mieć trzy przypadki:

• Przypadek I [tex]K_a > K_b[/tex]

Jeżeli stała dysocjacji kwasu jest większa od stałej dysocjacji zasady, od której pochodzi dana sól, wówczas odczyn roztworu będzie lekko kwasowy.

• Przypadek II [tex]K_a=K_b[/tex]

Jeżeli stała dysocjacji kwasu jest równa  stałej dysocjacji zasady, od której pochodzi dana sól, wówczas odczyn roztworu będzie obojętny.

• Przypadek III [tex]K_a < K_b[/tex]

Jeżeli stała dysocjacji kwasu jest mniejsza od stałej dysocjacji zasady, od której pochodzi dana sól, wówczas odczyn roztworu będzie lekko zasadowy.

Dochodzimy do wniosku, że mamy do czynienia z przypadkiem II. Odczyn będzie obojętny. Fenoloftaleina nie zmienia swojego zabarwienia w roztworach o odczynie kwasowym i obojętnym.

Odpowiedź.: Roztwór nie zmieni swojego zabarwienia (będzie bezbarwny).

  Kationy zostały podzielone na 5 grup analitycznych. Podziału tego dokonał Fressenius. Każda grupa ma swój własny odczynnik grupowy (jest to taki odczynnik, który reaguje z daną grupą kationów). Kation niklu(II) znajduje się w 3 grupie analitycznej obok takich kationów jak: żelaza(II) i żelaza(III), kobaltu(II), manganu(II), cynku oraz chromu(III). Odczynnikiem grupowym jest AKT (amid kwasu tiooctowego) w środowisku buforu amonowego i dodany do roztworów soli tych kationów powoduje wytrącenia siarczków lub wodorotlenków.

  Z treści zadania wiemy, że po dodaniu do roztworu zawierającego jony niklu(II) wodorotlenku sodu strącił się zielony osad, który nie rozpuścił się w nadmiarze odczynnika:

[tex]Ni^{2+}+2OH^-\riightarrow Ni(OH)_2\downarrow\\Ni(OH)2\downarrow + OH^-\rightarrow X[/tex]

Aby potwierdzić w próbce obecność jonów niklu(II) należy zastosować reakcję charakterystyczną. Taką reakcją będzie reakcja Czugajewa. Reakcja ta polega na dodaniu do próbki zawierającej jony niklu(II) roztworu odczynnika Czugajewa (dimetyloglioksym) w środowisku amoniakalnym. W przypadku obecności tych jonów następuje wytrącenie różowego osadu soli kompleksowej. Reakcji tej nie ulegają inne kationy z tej grupy analitycznej i dzięki temu możemy potwierdzić obecność jonów niklu(II) ze 100% prawdopodobieństwem. Reakcję te możemy zapisać w formie uproszczonej:

[tex]Ni^{2+}+2Hdmg\xrightarrow {NH_3\cdot H_2O} [Ni(dmg)_2]\downarrow+2H^+[/tex]

lub w formie pełnej, która znajduje się w załączniku.

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest obliczenie stężenia kwasu solnego, jego pH i pH roztworu po miareczkowaniu.

  Rozwiązanie zadania podzielimy sobie na trzy etapy i w każdym z nich obliczymy to, o co proszą nas w treści zadania.

  Zacznijmy od zapisania równania reakcji zachodzącej podczas miareczkowania roztworu kwasu solnego za pomocą roztworu wodorotlenku sodu:

[tex]HCl + NaOH\rightarrow NaCl+H_2O[/tex]

Jak widzimy, ze stechiometrii reakcji 1 mol kwasu reaguje z 1 molem zasady. Skorzystamy z równości liczby moli kwasu do zasady, co możemy zapisać:

[tex]n_{HCl}=n_{NaOH}[/tex]

Liczby moli możemy wyrazić poprzez iloczyn stężeń i objętości tych reagentów:

[tex]n_{HCl}=C_{HCl}\cdot V_{HCl}\ \ \ \wedge \ \ \ n_{NaOH}=C_{NaOH}\cdot V_{NaOH}[/tex]

Podstawiając to do naszej równości, otrzymujemy:

                           [tex]\Large \boxed{C_{HCl}\cdot V_{HCl}=C_{NaOH}\cdot V_{NaOH}}[/tex]

Wypiszmy dane z zadania:

[tex]V_{HCl}=25ml=25cm^3=25\cdot \frac{1}{1000}dm^3=0,025dm^3\\ C_{NaOH}=0,15mol/dm^3\\V_1(NaOH)=11,0ml\\V_2(NaOH)=11,1ml\\V_3(NaOH)=11,2ml\\V_4(NaOH)=13,2ml[/tex]

W analizie miareczkowej obowiązuje nas zasada błędu grubego. Jeżeli którykolwiek z wyników pomiaru różni się od poprzednich o więcej, niż 0,2 jednostki, wówczas przyjmujemy, że jest to błąd gruby i tego wyniku nie bierzemy pod uwagę. Ponieważ czwarty wynik objętości wodorotlenku sodu jest znacznie większy od poprzednich, to nie bierzemy go do obliczeń.

  Obliczmy średnią objętość NaOH zużytą do miareczkowania:

[tex]V_{NaOH}=\frac{V_1(NaOH)+V_2(NaOH)+V_3(NaOH)}{3}=\frac{11,0ml+11,1ml+11,2ml}{3}\\\\V_{NaOH}=\frac{33,3ml}{3}=11,1ml=11,1cm^3=11,1\cdot \frac{1}{1000}dm^3 =0,0111dm^3[/tex]

Mając już wszystkie dane obliczamy stężenie HCl:

[tex]C_{HCl}\cdot V_{HCl}=C_{NaOH}\cdot V_{NaOH}\implies C_{HCl}=\frac{C_{NaOH}\cdot V_{NaOH}}{V_{HCl}} \\\\C_{HCl}=\frac{0,15mol/dm^3\cdot 0,0111dm^3}{0,025dm^3}=\boxed{0,0666mol/dm^3}[/tex]

Odpowiedź.: Stężenie roztworu HCl wynosi 0,0666mol/dm³.

  Kwas solny jest mocnym elektrolitem i przyjmujemy, że dysocjacja zachodzi w 100%. Kwas ten ulega dysocjacji zgodnie z równaniem:

[tex]HCl\xrightarrow {H_2O}H^++Cl^-[/tex]

Podczas dysocjacji powstaje 1 mol kationów wodorowych i 1 mol anionów chlorkowych. Dla mocnych kwasów stężenie kationów wodoru powstałych w procesie dysocjacji jest równe początkowemu stężeniu molowemu tego kwasu:

[tex][H^+]=C_{HCl}[/tex]

pH natomiast definiujemy jako ujemny logarytm dziesiętny ze stężenia jonów wodorowych:

[tex]pH=-\log[H^+][/tex]

W poprzedniej części obliczyliśmy stężenie kwasu i wynosi ono:

[tex]C_{HCl}=0,0666mol/dm^3=[H^+][/tex]

Więc pH wynosi:

[tex]pH=-\log[H^+]=-\log(0,0666)\approx\boxed{ 1,18}[/tex]

Odpowiedź.: Stężenie początkowe kwasu wynosi ok. 1,18.

  Zapiszmy raz jeszcze równanie reakcji zachodzącej podczas miareczkowania:

[tex]HCl+NaOH\rightarrow NaCl + H_2O[/tex]

Musimy obliczyć ile moli kwasu i zasady mamy na początku:

[tex]n_{HCl}=C_{HCl}\cdot V_{HCl}=0,0666mol/dm^3\cdot 0,025dm^3=0,0017mol\\n_{NaOH}=C_{NaOH}\cdot V_{NaOH}=0,15mol/dm^3\cdot 0,0111dm^3=0,0017mol[/tex]

UWAGA!!! Ponieważ z równania reakcji wynika, że 1 mol kwasu reaguje z 1 molem zasady, a w naszych obliczeniach okazuje się, że na początku mamy jednakowe liczby moli kwasu i zasady, to po reakcji nie zostanie ani kwasu, ani zasady:

[tex]n_{HCl}-n_{NaOH}=0,0017mol-0,0017mol=0mol[/tex]

więc odczyn roztworu będzie obojętny:

                                                        [tex]\Large \boxed{pH=7}[/tex]

Wynika to z faktu, że podczas miareczkowania roztworów mocnego kwasu mocną zasadą w punkcie równoważnikowym pH jest zawsze równe 7.

Odpowiedź.: pH po miareczkowaniu jest równe 7.