a) Porównaj liczby: (załacznik); b) Oblicz odległość między liczbami -6 i 12;

Odpowiedź:

a) log (o podstawie 2) 32 = 5 ,ponieważ 2 do potęgi 5 = 32

b) log5 + log2 = log (5*2) = log 10 = 1 ,ponieważ 10¹ = 10

c) 3log(log o podstawie 2 z liczby 32 * log o podstawie 5 z liczby 25) = 3log (5*2) = log 10³ = log 1000 = 3 ,ponieważ 10³ = 1000 (10*10*10)

Szczegółowe wyjaśnienie:

...

Odpowiedź + Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\log_ab=c\iff a^c=b\\\\a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

[tex]a)\ \log_232[/tex]

pytamy się: jaka potęga liczby 2 daje 32?

oczywiście, że 5.

2⁵ = 32

stąd

[tex]\huge\boxed{\log_232=5}[/tex]

Możemy rozwiązać to przez równanie na podstawie definicji logarytmu:

[tex]\log_232=x\iff 2^x=32\\\\2^x=2^5\Rightarrow x=5[/tex]

[tex]b)\ \log5+\log2[/tex]

Jeżeli mamy do czynienia z logarytmem, w którym nie ma napisanej podstawy, to jest to logarytm dziesiętny:

[tex]\log x=\log_{10}x[/tex]

Ani w jednym, ani w drugim logarytmie nie możemy określić potęgi liczby 10, która dałaby nam liczbę 5 lub 2.

Skorzystamy z twierdzenia:

[tex]\log_ab+\log_ac=\log_a\left(b\cdot c\right)\\\\a,\ b,\ c > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

[tex]\log5+\log2=\log10\\\\\log10=x\iff10^x=10\\\\10^x=10^1\Rightarrow x=1[/tex]

stąd:

[tex]\huge\boxed{\log5+\log2=1}[/tex]

[tex]c)\ 3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)[/tex]

Zaczniemy od logarytmów w nawiasie:

[tex]\log_232=x\iff 2^x=32\\\\2^x=2^5\Rightarrow x=5\\\\\huge\boxed{\log_232=5}[/tex]

[tex]\log_525=x\iff5^x=25\\\\5^x=5^2\Rightarrow x=2\\\\\huge\boxed{\log_525=2}[/tex]

[tex]\log_232\cdot\log_525=5\cdot2=10[/tex]

zatem maty:

[tex]3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)=3\log10[/tex]

[tex]\log10=x\iff 10^x=10\\\\10^x=10^1\Rightarrow x=1\\\\\huge\boxed{\log10=1}[/tex]

Ostatecznie mamy:

[tex]3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)=3\log(5\cdot2)=3\log10=3\cdot1=3[/tex]

[tex]\huge\boxed{3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)=3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

wyjaśnienia:

[tex]a^{\frac{1}{3} }= \sqrt[3]{a}[/tex]    ,    [tex]a^{\frac{2}{3} } = (\sqrt[3]{a } )^{2}[/tex] ,    [tex]a^{-1} =\frac{1}{a}[/tex]

[tex]8^{\frac{1}{3} } =\sqrt[3]{8} =2[/tex]  ,   [tex]9^{\frac{1}{2} } =\sqrt{9}[/tex]  ,   [tex]\sqrt[3]{-64}=-4[/tex]   [tex]bo[/tex]  [tex](-4)*(-4)*(-4)=-64[/tex]

obliczamy:

[tex]8^{\frac{1}{3} } *\sqrt{3^{2} +4^{2} } +(\frac{1}{9^{\frac{1}{2} } } )*(27^{-\frac{2}{3} })+\sqrt[3]{-64} =[/tex]

[tex]=\sqrt[3]{8} *\sqrt{9+16} +\frac{1}{\sqrt{9} } *(\sqrt[3]{27^{-2} } )+(-4)=[/tex]

[tex]=2*\sqrt{25} +\frac{1}{3} *3^{-2} -4=[/tex]

[tex]=2*5+\frac{1}{3} *(\frac{1}{3} )^{2} -4=[/tex]

[tex]=10+\frac{1}{3} *\frac{1}{9} -4=10+\frac{1}{27} -4=6+\frac{1}{27} =[/tex]

[tex]=6\frac{1}{27}[/tex]

Wartość wyrażenia : [tex]6\frac{1}{27}[/tex]

b)

korzystamy z własności:

[tex]a^{n} :b^{n}=(a:b)^{n}[/tex]

[tex](\sqrt[3]{72} )^{-4} : (\sqrt[3]{9} )^{-4} =[/tex]

[tex]=(\sqrt[3]{72} :\sqrt[3]{9} )^{-4} =[/tex]

[tex]=(\sqrt[3]{72:9} )^{-4} =(\sqrt[3]{8} )^{-4} =2^{-4}=(\frac{1}{2} )^{4}=\frac{1}{16}[/tex]

Wartość wyrażenia: [tex]\frac{1}{16}[/tex]

Odpowiedź:

-5x + 2 ≤ x + 2(7x - 5)

-5x + 2 ≤ x + 14x - 10

-5x - x - 14x ≤ -10 - 2

-20x ≤ -12 |*(-1) !!!!

20x ≥ 12 |:20

x ≥ 12/20

x ≥ 6/10

x ≥ 3/5

Odp. x ≥ 3/5

a)

[tex]-5x+2 \leq x+2(7x-5)\\\\-5x+2\leq x + 14x - 10\\\\-5x+2 \leq 15x-10[/tex]

Przenosimy niewiadome na lewą stronę, wiadome liczby na prawą:

[tex]-5x-15x \leq -10-2\\\\-20x\leq -12 \ \ \ |:(-20)[/tex]

Jeśli przy x -ie stoi liczba, to dzielimy nierówność obustronnie przez to, co przy tym x-ie stoi. Ale uwaga: jeśli dzielimy (lub mnożymy) przez ujemną liczbę, to znak nierówności zmienia się na przeciwny.

[tex]x \geq \frac{12}{20}\\\\x \geq \frac{3}{5}\\\\\boxed{x \in \langle\frac{3}{5};+\infty)}[/tex]

Rozwiązanie:

Funkcja:

[tex]f(x,y)=e^{x-1}(x+y^{2})[/tex]

Dziedzina:

[tex]D=\mathbb{R}^{2[/tex]

Pochodne cząstkowe:

[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x-1}(x+y^{2})+e^{x-1}=e^{x-1}(x+y^{2}+1)[/tex]

[tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=2ye^{x-1}[/tex]

Układ równań i punkty stacjonarne:

[tex]$\left \{ {{\frac{\partial f}{\partial x}=0} \atop {\frac{\partial f}{\partial y}=0}} \right. \iff \left \{ {{e^{x-1}(x+y^{2}+1)=0} \atop {2ye^{x-1}=0}} \right. \iff \left \{ {{x+y^{2}+1=0} \atop {y=0}} \right.[/tex]

Podstawiając [tex]y=0[/tex] mamy [tex]x=-1[/tex], stąd jedynym punktem stacjonarnym jest:

[tex]P=(-1,0)[/tex]

Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:

[tex]$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2 }=e^{x-1}(x+y^{2}+2)[/tex]

[tex]$\frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y}=2ye^{x-1}[/tex]

[tex]$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=2ye^{x-1}[/tex]

[tex]$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2e^{x-1}[/tex]

Macierz drugich pochodnych cząstkowych (dla [tex]P_{1}[/tex]):

[tex]$W=\left|\begin{array}{ccc}e^{-2}&0\\0&2e^{-2}\end{array}\right|=2e^{-4}=\frac{2}{e^{4}} > 0[/tex]

Poza tym:

[tex]$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2} (P_{1})=e^{-2} > 0[/tex]

Wniosek:

Funkcja [tex]f[/tex] osiąga minimum lokalne dla [tex]P_{1}=(-1,0)[/tex] równe [tex]$-\frac{1}{e^{2}}[/tex] .