Proszę o pomoc z tym zadaniem. Z góry dziękuję

Temat:
Matematyka
Autor:
khan
Utworzono:
1 rok temu

Odpowiedzi 2

Odpowiedź:

R = √[3(4 + √3)]/3

[tex]\huge\boxed{R=\dfrac{\sqrt{12+3\sqrt3}}{3}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Patrz załącznik.

Okrąg opisany na tym wielokącie (niepełnej siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wszystkich krawędziach tej samej długości) i okrąg opisany na trójkącie równobocznym są okręgami współśrodkowymi.

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym znajduje się w punkcie przecięcia wysokości trójkąta, które zawierają się zarówno w symetralnych boków i dwusiecznych kątów trójkąta równobocznego. Zawierają się one również w środkowych.

Na podstawie twierdzenia o środkowych trójkąta, wiemy, że punkt przecięcia środkowych dzieli jest w stosunku 1 : 2.

W związku z tym krótsza część stanowi 1/3 wysokości trójkąta.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku a obliczamy ze wzoru:

h = a√3/2

Podstawiamy a = 1:

h = 1√3/2

h = √3/2

obliczamy 1/3 wysokości:

1/3h = 1/3 · √3/2

1/3h = √3/6

Jak widać na rysunku, mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości:

x = √3/6 + 1y = 1/2

i przeciwprostokątnej odpowiadającej szukanemu promieniowi.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

a² + b² = c²

a, b - długości przyprostokątnych

c - długość przeciwprostokątnej

Podstawiamy:

R² = (√3/6 + 1)² + (1/2)²

skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

R² = (√3/6)² + 2 · √3/6 · 1 + 1² + 1/4

R² = 3/36 + √3/3 + 1 + 1/4

R² = 1/12 + √3/3 + 1 + 3/12

R² = 1/12 + √3/3 + 15/12

R² = 16/12 + √3/3

R² = 4/3 + √3/3

R² = (4 + √3)/3

R = √[(4 + √3)/3]

R = √(4 + √3)/√3 ·√3/√3

R = √[3(4 + √3)]/3

Zapiszę rozwiązanie w LaTeX, bo to może być nieczytelne:

[tex]R^2=\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2+2\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot1+1^2+\dfrac{1}{4}\\\\R^2=\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1}{36\!\!\!\!\!\diagup_{12}}+2\!\!\!\!\diagup^1\cdot\dfrac{\sqrt3}{6\!\!\!\!\diagup_3}+1+\dfrac{1}{4}\\\\R^2=\dfrac{1}{12}+\dfrac{\sqrt3}{3}+\dfrac{5}{4}\\\\R^2=\dfrac{1}{12}+\dfrac{\sqrt3}{3}+\dfrac{15}{12}\\\\R^2=\dfrac{16\!\!\!\!\!\diagup^4}{12\!\!\!\!\!\diagup_3}+\dfrac{\sqrt3}{3}[/tex]

[tex]R^2=\dfrac{4+\sqrt3}{3}\\\\R=\sqrt{\dfrac{4+\sqrt3}{3}}\\\\R=\dfrac{\sqrt{4+\sqrt3}}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\R=\dfrac{\sqrt{3(4+\sqrt3)}}{3}\\\\R=\dfrac{\sqrt{12+3\sqrt3}}{3}[/tex]

Autor:

colten0f6p
Oceń odpowiedź:
0

Szczegółowe wyjaśnienie:

[objaśnienia zgodne z rysunkiem w załączeniu]

Bok kwadratu i bok trójkąta równobocznego wynosi a = 1.

Promień R okręgu opisanego na figurze, obliczymy z trójkąta

zaznaczonego na zielono wykorzystując twierdzenia cosinusów .

Mamy dwa boki dane: a=1 i b = [tex]\frac{2}{3} h[/tex] i kąt między nimi zawarty 120°,

wtedy: [tex]c^{2} =a^{2} +b^{2} -2abcos\alpha[/tex] .

1. Obliczamy wysokość h trójkąta równobocznego:

a = 1

[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{1\sqrt{3} }{2 }=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]h=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

2. Obliczamy b = [tex]\frac{2}{3}h[/tex]

[tex]b=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}* \frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]b=\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]

3. Stosujemy twierdzenie cosinusów i obliczamy c = R

[tex]a=1[/tex] [tex]b=\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex] [tex]\alpha =120^{o}[/tex] [tex]c=R[/tex]

[tex]c^{2} =a^{2} +b^{2} -2abcos\alpha[/tex]

[tex]R^{2} =a^{2} +b^{2} -2abcos\alpha[/tex]

[tex]R^{2} =1^{2} +(\frac{\sqrt{3} }{3}) ^{2} -2*1*\frac{\sqrt{3} }{3}* cos120^{o}[/tex]

[tex]R^{2} =1 +\frac{3}{9} } -\frac{2\sqrt{3} }{3} cos(180^{o}-60^{o} )[/tex]

[tex]R^{2} =1\frac{1}{3} -\frac{2\sqrt{3} }{3} *(-cos60^{o} )[/tex] ← [tex]cos60^{o} =\frac{1}{2}[/tex]

[tex]R^{2} =1\frac{1}{3} -\frac{2\sqrt{3} }{3} *(-\frac{1 }{2})[/tex]

[tex]R^{2} =1\frac{1}{3} +\frac{2\sqrt{3} }{3} *\frac{1 }{2}=\frac{4}{3} +\frac{\sqrt{3} }{3}=\frac{4+\sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]R=\sqrt{\frac{4+\sqrt{3} }{3} }[/tex]

Promień okręgu opisanego wynosi [tex]R=\sqrt{\frac{4+\sqrt{3} }{3} }[/tex].

Autor:

nickystout
Oceń odpowiedź:
8

Proszę o pomoc z tym zadaniem. Z góry dziękuję

Odpowiedzi 2

Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!

Can't find the answer?

Other Matematyka Questions

Proszę o pomoc z tym zadaniem. Z góry dziękuję ​

Odpowiedzi 2

Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!

Can't find the answer?

Other related questions that may help you

Other Matematyka Questions

Proszę o pomoc z tym zadaniem. Z góry dziękuję