Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji: [tex]f(x,y)=\frac{3-xcos3y}{4x^{5} y^{3}-5x }[/tex]

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]inaczej

[tex]\huge\boxed{x=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\ \vee\ x=\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą, tzn:

f(-x) = -f(x)

czyli

stąd:

[tex]\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\qquad|\cdot(-1)\\\\-\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\\sin (-x)=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]

Wiemy, że sinπ/4 = √2/2 oraz sin(π - π/4) = √2/2.

Stąd i z okresowości funkcji sinus mamy:

[tex]-x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee\ -x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\\\Downarrow\\\\x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\qquad\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]

Jeżeli nie chcemy minusów na początku rozwiązań, wystarczy dodać okres funkcji, czyli 2π = 8π/4:

[tex]-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}+2k\pi=\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi\\\\-\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}+2k\pi=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\qquad k\in\mathbb{Z}[/tex]

Odpowiedź na zdjęciu.

(-_-(-_-)-_-)

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{R=\dfrac{\sqrt{12+3\sqrt3}}{3}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Patrz załącznik.

Okrąg opisany na tym wielokącie (niepełnej siatki graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wszystkich krawędziach tej samej długości) i okrąg opisany na trójkącie równobocznym są okręgami współśrodkowymi.

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym znajduje się w punkcie przecięcia wysokości trójkąta, które zawierają się zarówno w symetralnych boków i dwusiecznych kątów trójkąta równobocznego. Zawierają się one również w środkowych.

Na podstawie twierdzenia o środkowych trójkąta, wiemy, że punkt przecięcia środkowych dzieli jest w stosunku 1 : 2.

W związku z tym krótsza część stanowi 1/3 wysokości trójkąta.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku a obliczamy ze wzoru:

Podstawiamy a = 1:

h = 1√3/2

obliczamy 1/3 wysokości:

1/3h = 1/3 · √3/2

Jak widać na rysunku, mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości:

i przeciwprostokątnej odpowiadającej szukanemu promieniowi.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

a, b - długości przyprostokątnych

c - długość przeciwprostokątnej

Podstawiamy:

R² = (√3/6 + 1)² + (1/2)²

skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

R² = (√3/6)² + 2 · √3/6 · 1 + 1² + 1/4

R² = 3/36 + √3/3 + 1 + 1/4

R² = 1/12 + √3/3 + 1 + 3/12

R² = 1/12 + √3/3 + 15/12

R² = 16/12 + √3/3

R² = 4/3 + √3/3

R² = (4 + √3)/3

R = √[(4 + √3)/3]

R = √(4 + √3)/√3   ·√3/√3

R = √[3(4 + √3)]/3

Zapiszę rozwiązanie w LaTeX, bo to może być nieczytelne:

[tex]R^2=\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2+2\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot1+1^2+\dfrac{1}{4}\\\\R^2=\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1}{36\!\!\!\!\!\diagup_{12}}+2\!\!\!\!\diagup^1\cdot\dfrac{\sqrt3}{6\!\!\!\!\diagup_3}+1+\dfrac{1}{4}\\\\R^2=\dfrac{1}{12}+\dfrac{\sqrt3}{3}+\dfrac{5}{4}\\\\R^2=\dfrac{1}{12}+\dfrac{\sqrt3}{3}+\dfrac{15}{12}\\\\R^2=\dfrac{16\!\!\!\!\!\diagup^4}{12\!\!\!\!\!\diagup_3}+\dfrac{\sqrt3}{3}[/tex]

[tex]R^2=\dfrac{4+\sqrt3}{3}\\\\R=\sqrt{\dfrac{4+\sqrt3}{3}}\\\\R=\dfrac{\sqrt{4+\sqrt3}}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\R=\dfrac{\sqrt{3(4+\sqrt3)}}{3}\\\\R=\dfrac{\sqrt{12+3\sqrt3}}{3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[objaśnienia zgodne z rysunkiem w załączeniu]

Bok kwadratu i bok trójkąta równobocznego wynosi a = 1.

Promień R okręgu opisanego na figurze, obliczymy z trójkąta

zaznaczonego na zielono wykorzystując twierdzenia cosinusów .

Mamy dwa boki dane: a=1 i  b = [tex]\frac{2}{3} h[/tex]  i kąt między nimi zawarty 120°,

wtedy:  [tex]c^{2} =a^{2} +b^{2} -2abcos\alpha[/tex] .

1. Obliczamy wysokość h trójkąta równobocznego:

a = 1

[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{1\sqrt{3} }{2 }=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

[tex]h=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

2. Obliczamy b = [tex]\frac{2}{3}h[/tex]

[tex]b=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}* \frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]b=\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]

3. Stosujemy twierdzenie cosinusów i obliczamy c = R

[tex]a=1[/tex]        [tex]b=\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]      [tex]\alpha =120^{o}[/tex]     [tex]c=R[/tex]

[tex]c^{2} =a^{2} +b^{2} -2abcos\alpha[/tex]

[tex]R^{2} =a^{2} +b^{2} -2abcos\alpha[/tex]

[tex]R^{2} =1^{2} +(\frac{\sqrt{3} }{3}) ^{2} -2*1*\frac{\sqrt{3} }{3}* cos120^{o}[/tex]

[tex]R^{2} =1 +\frac{3}{9} } -\frac{2\sqrt{3} }{3} cos(180^{o}-60^{o} )[/tex]

[tex]R^{2} =1\frac{1}{3} -\frac{2\sqrt{3} }{3} *(-cos60^{o} )[/tex]                               ←  [tex]cos60^{o} =\frac{1}{2}[/tex]

[tex]R^{2} =1\frac{1}{3} -\frac{2\sqrt{3} }{3} *(-\frac{1 }{2})[/tex]

[tex]R^{2} =1\frac{1}{3} +\frac{2\sqrt{3} }{3} *\frac{1 }{2}=\frac{4}{3} +\frac{\sqrt{3} }{3}=\frac{4+\sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]R=\sqrt{\frac{4+\sqrt{3} }{3} }[/tex]

Promień okręgu opisanego wynosi [tex]R=\sqrt{\frac{4+\sqrt{3} }{3} }[/tex].

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest określenie, jakie pH będzie miał roztwór powstały po zmieszaniu HCl z NaOH o podanych wartościach pH.

  Zacznijmy od zapisania równania reakcji kwasu solne z zasadą sodową:

[tex]HCl+NaOH\rightarrow NaCl+H_2O[/tex]

Jak widzimy z powyższej reakcji, 1 mol kwasu reaguje z 1 molem zasady. W pierwszej kolejności nasze obliczenia musimy zacząć od wyznaczenia liczby moli kwasu, i zasady, jakimi dysponujemy. Ponieważ w zadaniu nie podano jakie objętości zmieszano, to zakładamy, że:

[tex]V_{NaOH}=V_{HCl}=1dm^3[/tex]

Znamy również wartości pH kwasu i zasady:

[tex]pH(HCl)=3\\pH(NaOH)=11[/tex]

Ponieważ są to mocne elektrolity, to zachodzi zależność:

[tex][H^+]=C_{HCl}\ \ \ \wedge\ \ \ [OH^-]=C_{NaOH}[/tex]

Z definicji pH i pOH mamy:

[tex]pH=-\log[H^+]\implies [H^+]=10^{-pH}\\pOH=-\log[OH^-]\implies [OH^-]=10^{-pOH}\\pH+pOH=14\implies pOH=14-pH[/tex]

Obliczmy pH wodorotlenku sodu:

[tex]pOH=14-11=3[/tex]

Teraz obliczmy stężenia jonów wodorowych i hydroksylowych:

[tex][H^+]=10^{-pH}=10^{-3}mol/dm^3\ \ \ \wedge\ \ \ [OH^-]=10^{-pH}=10^{-3}mol/dm^3[/tex]

Obliczmy liczbę moli kwasu i zasady:

[tex]n_{HCl}=C_{HCl}\cdot V_{HCl}=10^{-3}mol/dm^3\cdot1dm^3=10^{-3}mol\\n_{NaOH}=C_{NaOH}\cdot V_{NaOH}=10^{-3}mol/dm^3\cdot1dm^3=10^{-3}mol[/tex]

WNIOSEK: Ponieważ reakcja według stechiometrii zachodzi w stosunku 1:1 tzn.: 1 mol NaOH reaguje z 1 molem HCl, a my dysponujemy identycznymi liczbami moli kwasu i zasady, to po reakcji ich liczba będzie wynosić:

[tex]n_{HCl}-n_{NaOH}=10^{-3}mol-10^{-3}mol= 0[/tex]

Po reakcji nie zostanie ani kwasu, ani zasady, więc odczyn roztworu będzie obojętny.

                                                    [tex]\Large \boxed{pH=7}[/tex]

Odpowiedź.: pH po zmieszaniu będzie równe 7.