Odpowiedź:
[tex]\boxed {x=7}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Pamiętamy:
- Liczba pierwsza - to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę oraz siebie samą
W pierszej kolejności wyznaczymy dziedzinę .
[tex]2x-2,5\neq =0~~\Rightarrow ~~2x\neq \dfrac{5}{2} ~~\Rightarrow~~ x \neq \dfrac{5}{4} ~~\Rightarrow ~~x\neq 1\dfrac{1}{4} \\\\\boxed {D=R-\{ 1\dfrac{1}{4} \} }[/tex]
Rozwiązujemy równanie dwoma metodami.
[tex]I.\\\\\dfrac{4x-5}{2x-2,5} =\dfrac{2x}{7} \\\\2x\cdot (2x-2,5)=7\cdot (4x-5)\\\\4x^{2} -5x=28x-35\\\\4x^{2} -33x+35=0\\\\a=4,~~b=-33,~~c=35\\\\\Delta =b^{2} -4ac\\\\\Delta = (-33)^{2} -4\cdot 4\cdot 35\\\\\Delta =1089-560\\\\\Delta =529\\\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{529} =\sqrt{23^{2} } =23[/tex]
[tex]x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} ~~\lor ~~x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\x_{1} =\dfrac{33-23}{8} ~~\lor ~~x_{2} =\dfrac{33+23}{8} \\\\(~~x_{1} =1\frac{1}{4} ~~\lor ~~x_{2} =7~~)~~\land ~~x \in D~~\Rightarrow ~~\boxed {x=7}[/tex]
[tex]II.\\\\\dfrac{4x-5}{2x-2,5} =\dfrac{2}{7}x ~~\mid \cdot (2x-2,5)\\\\\\\dfrac{4x-5}{2x-2,5} \cdot (2x-2,5)=\dfrac{2}{7}x\cdot (2x-2,5)\\\\\\4x-5=\dfrac{4}{7} x^{2} -\dfrac{5}{7} x~~\mid \cdot 7\\\\28x-35=4x^{2} -5x\\\\4x^{2} -33x+35=0\\\\a=4,~~b=-33,~~c=35[/tex]
[tex]\Delta =b^{2} -4ac\\\\\\Delta =(-33)^{2} -4\cdot 4\cdot 35=1089-560\\\\\Delta =529\\\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{529} =\sqrt{23^{2} } =23[/tex]
[tex]x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} ~~\lor ~~x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\x_{1} =\dfrac{33-23}{8} ~~\lor ~~x_{2} =\dfrac{33+23}{8} \\\\(~~x_{1} =1\frac{1}{4} ~~\lor ~~x_{2} =7~~)~~\land ~~x \in D~~\Rightarrow ~~\boxed {x=7}[/tex]
Rozwiązując równanie pierwszą lub drugą metodą otrzymujemy wynik : x=7
Rozwiazaniem równania ma być liczba pierwsza ⇒ 7 liczba naturalna i jest liczbą pierwszą ⇒ dzieli się przez 1 oraz przez samsamą siebie czyli 7
Odp: Rozwiązaniem równania jest liczba 7.