Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników i sprawdź wynik: 3x - 3y + 4z = 8 -6x + 2y + z = - 2 x - y + 5z = 10

[tex]\begin{cases} 3x-3y+4z = 8 \\ -6x+ 2y+z = - 2 \\ x - y +5z = 10 \end{cases} \\\\\\ W = \left|\begin{array}{ccc}3&-3&4\\-6&2&1\\1&-1&5\end{array}\right| = 4 \cdot (-6) \cdot (-1) +(-3) \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot \\\\ (-6) \cdot 5 - 4 \cdot 2 \cdot 1=24-3+30+3-90-8 = -44 \neq 0[/tex]

Wyznacznik główny W jest różny od zera, dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie.

[tex]W_x = \left|\begin{array}{ccc}8&-3&4\\-2&2&1\\10&-1&5\end{array}\right| = 4 \cdot (-2) \cdot (-1) + (-3) \cdot 1 \cdot 10 + 8 \cdot 2 \cdot 5 - 8 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot \\\\ (-2) \cdot 5 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 8 -30+80+8-30-80 = - 44 \\\\ x = \frac{W_x}{W} = \frac{-44}{- 44} = 1 \\\\ \underline{x = 1}[/tex]

[tex]W_y = \left|\begin{array}{ccc}3&8&4\\-6&-2&1\\1&10&5\end{array}\right|= 4 \cdot (-6) \cdot 10 + 8 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) \cdot 5 - 3 \cdot 1 \cdot 10 - 8 \cdot (-6) \cdot \\\\ 5 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = -240+8-30-30+240+8=-44 \\\\ y = \frac{W_y}{W} =\frac{-44}{-44} = 1 \\\\ \underline{y = 1}[/tex]

[tex]W_z = \left|\begin{array}{ccc}3&-3&8\\-6&2&-2\\1&-1&10\end{array}\right|= 8 \cdot (-6) \cdot (-1)+ (-3) \cdot (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 10 - 3 \cdot (-2) \cdot \\\\ (-1) - (-3) \cdot (-6) \cdot 10 - 8 \cdot 2 \cdot 1 = 48+6+60-6-180-16=-88 \\\\ z = \frac{W_z}{W} =\frac{-88}{-44} =2 \\\\ \underline{z = 2}[/tex]

Sprawdzenie

3 · 1 - 3 · 1 + 4 · 2 = 3 - 3 + 8 = 8

- 6 · 1 + 2 · 1 + 2 = - 6 + 2 + 2 = - 2

1 - 1 + 5 · 2 = 1 - 1 + 10 = 10

Odp. Zbiorem rozwiązań układu równań jest trójka liczb: (1, 1, 2).