Rzucamy trzy razy szescienna kostka do gry oblicz prawdopodobienstwo otrzymania sumy oczek wiekszej od 16.

Rozwiązanie:

Szereg:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}[/tex]

Zauważmy, że:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(x^{2n+1})'=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'[/tex]

Teraz łatwo znaleźć sumę - mamy tutaj szereg geometryczny o pierwszym wyrazie [tex]x[/tex] i ilorazie [tex]-x^{2}[/tex] :

[tex]$\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'=\Big( \frac{x}{1+x^{2}}\Big)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}[/tex]

Przedział zbieżności:

Zaczynamy od promienia zbieżności, który znajdziemy z warunku zbieżności szeregu geometrycznego:

[tex]|-x^{2}| < 1 \iff |x^{2}| < 1 \iff |x|^{2} < 1 \iff|x| < 1 \Rightarrow R=1[/tex]

Teraz musimy jeszcze sprawdzić brzegi:

Dla [tex]x=-1[/tex] :

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)(-1)^{2n}= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)[/tex]

Ten szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, nawet nie liczę tej prostej granicy.

Dla [tex]x=1[/tex] sytuacja jest taka sama, szereg jest rozbieżny.

Ostatecznie przedziałem zbieżności jest:

[tex]I=(-1,1)[/tex]

Teraz mamy obliczyć sumę:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n} = -1 +\frac{3}{4}+ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}[/tex]

Sumę szeregu z prawej strony obliczymy, korzystając z wcześniej wyprowadzonego wzoru, wystarczy, że za [tex]x[/tex] podstawimy [tex]$\frac{1}{2}[/tex] :

[tex]$ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{(1+(\frac{1}{2})^{2})^{2}}=\frac{12}{25}[/tex]

Ostatecznie:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=-1+\frac{3}{4} +\frac{12}{25}=\frac{23}{100}[/tex]

Liczby naturalne to liczby calkowite dodatnie

[tex]a_1=1\\a_n=100\\r=1\\\\100=1+(n-1)*1\\100=1+n-1\\100=n\\\\S_{100}=\frac{1+100}2*100\\S_{100}=101*50=5050[/tex]

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest zapisanie równań reakcji chemicznych podanych w podpunktach.

[tex]CH_3-CH_2-CH_2-OK+H_2O\right\rightarrow CH_3-CH_2-CH_2-OH +KOH[/tex]

Komentarz: Propan-1-olan potasu to związek organiczny będący pochodną propan-1-olu. Należy do grupy związków zwanych alkoholanami. Alkoholany pod wpływem wody ulegają hydrolizie do odpowiedniego alkoholu, oraz wodorotlenku. W naszym przypadku produktami hydrolizy są propan-1-ol i wodorotlenek potasu. Należy zapamiętać, że hydroliza alkoholanów jest nieodwracalna, ponieważ alkohole nie reagują z zasadami i reakcja biegnąca w stronę lewą byłaby niemożliwa.

[tex]CH_3CH(OH)CH_3\xrightarrow {[O]} CH_3COCH_3[/tex]

Komentarz: Mamy tutaj do czynienia z reakcją utleniania propan-2-olu. Propan-2-ol należy do alkoholi II-rzędowych (takich, w których grupa hydroksylowa związana jest z II-rzędowym atomem węgla). Alkohole II-rzędowe w obecności utleniaczy utleniają się do ketonów. Produktem utleniania propan-2-olu jest propanon (aceton).

[tex]CH_2=CH_2\xrightarrow {KMnO_4} HO-CH_2-CH_2-OH[/tex]

Komentarz: W tej reakcji mamy do czynienia z utlenianiem alkenu (etenu) manganianem(VII) potasu. W wyniku utleniania tego związku otrzymujemy alkohol polihydroksylowy a dokładniej diol wicynalny. Diole wicynalne to alkohole dwuwodorotlenowe, w których grupy -OH są przyłączone przy sąsiednich atomach węgla. Produktem utleniania etenu jest 1,2-dihydroksoetan (etano-1,2-diol).

[tex]CH_2Br-CH_2Br+2KOH\xrightarrow{H_2O}HO-CH_2-CH_2-OH+2KBr[/tex]

Komentarz: Mamy tu do czynienia z hydrolizą dibromopochodnej alkanu. W treści zadania nie podano, w jakim środowisku zachodzi reakcja, więc uznaje, że w wodnym. W wyniku hydrolizy zasadowej chlorowcopochodnych alkanów otrzymujemy alkohole. W naszym przypadku poddajemy hydrolizie dichlorowcopochodną, więc produktem będzie alkohol z dwiema grupami hydroksylowymi (diol). Produktem jest etano-1,2-diol.

[tex]2C_6H_4OH(CH_3)+2K\rightarrow 2C_6H_4OK(CH_3)+H_2\uparrow[/tex]

Komentarz: Jest to reakcja podstawionego fenolu z metalem alkalicznym (potasem). W reakcji tej bierze udział grupa hydroksylowa połączona z pierścieniem aromatycznym i otrzymujemy związek o nazwie 2-metylohydroksybenzenian potasu.

Odpowiedź:

Marcin Luter -- nie akceptował zwierzchnictwa papieża nad kościołem, zapoczątkował reformację,

Mikołaj Kopernik -- w swoim dziele ,,O obrotach sfer niebieskich"- głosił teorię, niezgodną z naukami kościoła.

Wyjaśnienie:

w indeksie ksiąg zakazanych znaleźli się też m.in;

Monteskiusz, Galileusz, Immanuel Kant, Wolter, Kartezjusz