Oblicz okres liczby 0,(5)+0,(04) w jej rozwinięciu dziesiętnym.

Odpowiedź:

To liczby:  1,2,3,4,5,6

lub

0,1,2,3,45,6  jeżeli 0  jest uważane za liczb naturalną.

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]x^{5}+2x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+6 = 0\\\\x^{4}(x+2) -4x^{2}(x+2)+3(x+2) = 0\\\\(x+2)(x^{4}-4x^{2}+3) = 0\\\\(x+2)(x^{4}-3x^{2}-x^{2}+3) = 0\\\\(x+2)[x^{2}(x^{2}-3)-(x^{2}-3)] = 0\\\\(x+2)(x^{2}-3)(x^{2}-1) = 0[/tex]

Korzystam ze wzoru uproszczonego mnożenia: (a + b)(a - b) = a² - b²

[tex](x+2)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+1)(x-1) = 0\\\\x+2 = 0 \ \vee \ x+\sqrt{3} = 0 \ \vee \ x-\sqrt{3} = 0 \ \vee \ x+1 = 0 \ \vee \ x-1 = 0\\\\x=-2 \ \vee \ x = -\sqrt{3} \ \vee \ x = \sqrt{3} \ \vee \ x = -1 \ \vee \ x = 1\\\\\boxed{x \in \{-2,-\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}, 1\}}[/tex]

Dane w załączniku.

Lewy trójkąt:

[tex]2x=2\mbox{ cm}\quad|:2\\x=1\mbox{ cm}[/tex]

[tex]h=x\sqrt{3}\\h=1\sqrt{3}\mbox{ cm}\\h=\sqrt{3}\mbox{ cm}[/tex]

Prawy trójkąt:

[tex]z=2h\\z=2\sqrt{3}\mbox{ cm}[/tex]

[tex]y=h\sqrt{3}\\y=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\mbox{ cm}\\y=3\mbox{ cm}[/tex]

Obwód:

[tex]L=y+2+x+2+2+z\\L=3+2+1+2+2+2\sqrt{3}=(10+2\sqrt{3})\mbox{ cm}[/tex]

Oznaczmy środek boku AB jako E, a punkt przecięcia symetralnej boku AB z bokiem BC jako D.

oraz:      |BC| = b   i   |BD| = x

{rysunek w załączniku}

Mamy dane:   |∡ACB| = 90°,   |AC| = 10  i  |AB| = 6

           oraz:     |BE| = 0,5|AB| = 5

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

                                                       [tex]\bold{|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2}\\\\\bold{6^2+b^2=10^2}\\\\\bold{36+b^2=100}\\\\ \bold{b^2=64}\\\\\bold{b=8}\\\\\bold{|BC|=8}[/tex]

Kąt DBE trójkąta BED jest jednocześnie kątem ABC trójkąta ABC, czyli ma tę samą miarę. Oba te trójkąty są prostokątne, czyli trzecie kąty w obu trójkątach też muszą mieć jednakowe miary (bo suma kątów w trójkącie jest stała)

Zatem, z cechy kąt-kąt-kąt trójkąty te są podobne:

Stąd:

           [tex]\bold{\dfrac{|AB|}{|BD|}=\dfrac{|BC|}{|BE|}}\\\\\bold{\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{5}}\\\\\bold{8x=50\qquad/:8}\\\\\bold{x=6{,}25}\\\\\bold{|BD|=6{,}25}[/tex]

Oraz:    [tex]\bold{|CD|=|BC|-|BD|=8-6{,}25=1{,}75}[/tex]