Dany jest trójkąt prostokątny abc w którym kąt acb równa się 90 stopni oraz AC= 6 i AB =10. Wyznacz długości odcinków na jakie symetralna boku AB dzieli bok BC.

0,(5) = 0,55555 ...

0,(04) = 0,040404 ...

Dane w załączniku.

Lewy trójkąt:

[tex]2x=2\mbox{ cm}\quad|:2\\x=1\mbox{ cm}[/tex]

[tex]h=x\sqrt{3}\\h=1\sqrt{3}\mbox{ cm}\\h=\sqrt{3}\mbox{ cm}[/tex]

Prawy trójkąt:

[tex]z=2h\\z=2\sqrt{3}\mbox{ cm}[/tex]

[tex]y=h\sqrt{3}\\y=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\mbox{ cm}\\y=3\mbox{ cm}[/tex]

Obwód:

[tex]L=y+2+x+2+2+z\\L=3+2+1+2+2+2\sqrt{3}=(10+2\sqrt{3})\mbox{ cm}[/tex]

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

(ilustracja graficzna - załącznik)

W treści zadania mamy podane dwa boki  a = 5,  b = 2  i kąt między nimi

zawarty   γ = 120º - to bezpośrednio z tw. cosinusów możemy obliczyć

brakujący bok c = ?,  c² = a² + b² - 2abcos γ,  gdzie [II ćwiartka, cos < 0],

cos 120º = cos (180º - 60º) = - cos 60º = - 1/2,       to

c² = a² + b² - 2ab cos γ = 5² + 2² - 2•5•2•(- 1/2) = 29 + 10 = 39    to

to   c = √39 ≅ 6,244997998 ≅6,245

Pozostałe kąty ∝,   β można teraz również obliczyć z tw. cosinusów,

ale prościej będzie z tw. sinusów:

a/sin ∝ = c/sin γ    to   5/sin ∝ = 6,244997998/sin 120º,   gdzie  

[II ćwiartka,  sin > 0], sin 120º = sin (180º - 60º) = + sin 60º = √3/2,

to   sin ∝/5 = sin 120º/6,244997998 = (√3/2)/6,244997998       to

sin ∝/5 =  0,138675049    /•5   to    

sin ∝ = 5•0,138675049 = 0,693375245      to     ∝ = 43º 54'

b/sinβ = a/sin ∝   to  2/sin β = 5/0,693375245       to  

sin β/2 = 0,693375245/5     /•2   to    sin β = 2•0,693375245/5   to

sin β = 0,277350098     to     β = 16º 6'  

Sprawdzenie:  ∝ + β + γ = 43º 54' + 16º 6' + 120º = 180º

co należało sprawdzić.

Wszystkie wyniki do pełnego rozwiązania trójkąta zebrane są na ilustracji graficznej - załącznik.

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

[Nasze działania, przekształcenia mają zmierzać do tego, by po lewej stronie równania pozostała tylko sama ta zmienna, którą mamy wyznaczyć]

a)

z + 3sin w = 1/k  ---> wyznacz   z,  k

z;    z = 1/k - 3sin w

k;    1/k = z + 3sin w   /•k     to    1 = k(z + 3sin w)    to  

k(z + 3sin w) = 1    /:(z + 3sin w)     to     k = 1/(z + 3sin w)

II metoda:

z + 3sin w = 1/k     to     1/k = z + 3sin w

[zapiszemy ostatnie równanie w postaci odwrotności wyrażeń po  lewej i prawej strony równania]:      to    

k = 1/(z + 3sin w)

b)

s + 9t = 1/(s - w)  ---> wyznacz t,  w

t;     9t = 1/(s - w) - s     /:9     to   t = 1/[9(s - w)] - s/9

w;    s + 9t = 1/(s - w)     to     1/(s - w) = s + 9t     to   (s - w)/1 = 1/(s + 9t)

to     s - w = 1/(s + 9t)   to      - w =  1/(s + 9t) - s      /•(-1)     to    

w =  s - 1/(s + 9t)

c)

3r/(2p + 1) = 7a/(4 - z)  ---> wyznacz p,  z

p;    [zapiszemy to równanie w postaci odwrotności tych ułamków]:

(2p + 1)/3r = (4 - z)/7a   to    2p/3r + 1/3r =  (4 - z)/7a     to    

2p/3r = (4 - z)/7a - 1/3r     /•3r/2       to  

p =  3r(4 - z)/14a - 1/2

z;    3r/(2p + 1) = 7a/(4 - z)    to    7a/(4 - z)  = 3r/(2p + 1)

[odwrotność ułamków]:    to   (4 - z)/7a = (2p + 1)/3rm     to

4/7a - z/7a = (2p + 1)/3rm    to   - z/7a = (2p + 1)/3rm -  4/7a    /•(-7a)

to   z = 4 - 7a(2p + 1)/3rm

d)

2n/p - u = z/(m + 4) + h   ---> wyznacz  p,  m

p;    2n/p = z/(m + 4) + h + u,   to    [odwrotność ułamków]:    to

p/2n = 1/[z/(m + 4) + h + u]       /•2n   to  p = 2n/[z/(m + 4) + h + u]  

m;    2n/p - u = z/(m + 4) + h     to      z/(m + 4) + h = 2n/p - u      to

z/(m + 4) = 2n/p - u - h   to      [odwrotność ułamków]:     to  

(m + 4)/z = 1/[2n/p - u  - h]     /•z       to    

(m + 4) = z/[2n/p - u  - h]      to   m = z/[2n/p - u  - h] - 4