W trójkącie ABC dane są długości boków AC=2 i BC=5 oraz miara kąta BCA jest równa 120°. Rozwiąż ten trójkąt​.

Dane w załączniku.

Lewy trójkąt:

[tex]2x=2\mbox{ cm}\quad|:2\\x=1\mbox{ cm}[/tex]

[tex]h=x\sqrt{3}\\h=1\sqrt{3}\mbox{ cm}\\h=\sqrt{3}\mbox{ cm}[/tex]

Prawy trójkąt:

[tex]z=2h\\z=2\sqrt{3}\mbox{ cm}[/tex]

[tex]y=h\sqrt{3}\\y=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\mbox{ cm}\\y=3\mbox{ cm}[/tex]

Obwód:

[tex]L=y+2+x+2+2+z\\L=3+2+1+2+2+2\sqrt{3}=(10+2\sqrt{3})\mbox{ cm}[/tex]

Oznaczmy środek boku AB jako E, a punkt przecięcia symetralnej boku AB z bokiem BC jako D.

oraz:      |BC| = b   i   |BD| = x

{rysunek w załączniku}

Mamy dane:   |∡ACB| = 90°,   |AC| = 10  i  |AB| = 6

           oraz:     |BE| = 0,5|AB| = 5

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

                                                       [tex]\bold{|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2}\\\\\bold{6^2+b^2=10^2}\\\\\bold{36+b^2=100}\\\\ \bold{b^2=64}\\\\\bold{b=8}\\\\\bold{|BC|=8}[/tex]

Kąt DBE trójkąta BED jest jednocześnie kątem ABC trójkąta ABC, czyli ma tę samą miarę. Oba te trójkąty są prostokątne, czyli trzecie kąty w obu trójkątach też muszą mieć jednakowe miary (bo suma kątów w trójkącie jest stała)

Zatem, z cechy kąt-kąt-kąt trójkąty te są podobne:

Stąd:

           [tex]\bold{\dfrac{|AB|}{|BD|}=\dfrac{|BC|}{|BE|}}\\\\\bold{\dfrac{10}{x}=\dfrac{8}{5}}\\\\\bold{8x=50\qquad/:8}\\\\\bold{x=6{,}25}\\\\\bold{|BD|=6{,}25}[/tex]

Oraz:    [tex]\bold{|CD|=|BC|-|BD|=8-6{,}25=1{,}75}[/tex]

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

[Nasze działania, przekształcenia mają zmierzać do tego, by po lewej stronie równania pozostała tylko sama ta zmienna, którą mamy wyznaczyć]

a)

z + 3sin w = 1/k  ---> wyznacz   z,  k

z;    z = 1/k - 3sin w

k;    1/k = z + 3sin w   /•k     to    1 = k(z + 3sin w)    to  

k(z + 3sin w) = 1    /:(z + 3sin w)     to     k = 1/(z + 3sin w)

II metoda:

z + 3sin w = 1/k     to     1/k = z + 3sin w

[zapiszemy ostatnie równanie w postaci odwrotności wyrażeń po  lewej i prawej strony równania]:      to    

k = 1/(z + 3sin w)

b)

s + 9t = 1/(s - w)  ---> wyznacz t,  w

t;     9t = 1/(s - w) - s     /:9     to   t = 1/[9(s - w)] - s/9

w;    s + 9t = 1/(s - w)     to     1/(s - w) = s + 9t     to   (s - w)/1 = 1/(s + 9t)

to     s - w = 1/(s + 9t)   to      - w =  1/(s + 9t) - s      /•(-1)     to    

w =  s - 1/(s + 9t)

c)

3r/(2p + 1) = 7a/(4 - z)  ---> wyznacz p,  z

p;    [zapiszemy to równanie w postaci odwrotności tych ułamków]:

(2p + 1)/3r = (4 - z)/7a   to    2p/3r + 1/3r =  (4 - z)/7a     to    

2p/3r = (4 - z)/7a - 1/3r     /•3r/2       to  

p =  3r(4 - z)/14a - 1/2

z;    3r/(2p + 1) = 7a/(4 - z)    to    7a/(4 - z)  = 3r/(2p + 1)

[odwrotność ułamków]:    to   (4 - z)/7a = (2p + 1)/3rm     to

4/7a - z/7a = (2p + 1)/3rm    to   - z/7a = (2p + 1)/3rm -  4/7a    /•(-7a)

to   z = 4 - 7a(2p + 1)/3rm

d)

2n/p - u = z/(m + 4) + h   ---> wyznacz  p,  m

p;    2n/p = z/(m + 4) + h + u,   to    [odwrotność ułamków]:    to

p/2n = 1/[z/(m + 4) + h + u]       /•2n   to  p = 2n/[z/(m + 4) + h + u]  

m;    2n/p - u = z/(m + 4) + h     to      z/(m + 4) + h = 2n/p - u      to

z/(m + 4) = 2n/p - u - h   to      [odwrotność ułamków]:     to  

(m + 4)/z = 1/[2n/p - u  - h]     /•z       to    

(m + 4) = z/[2n/p - u  - h]      to   m = z/[2n/p - u  - h] - 4

Odpowiedź:

A) W Biblii nazwano go ojcem narodu żydowskiego. Pod jego wodzą Izraelici po raz pierwszy przybyli do Palestyny​. - Abraham