W prostokącie abcd poprowadzono przekątną acac. Odcinek dede prostopadły do przekątnej acac i taki, że e∈abe∈ab, przecina się z przekątną acac w punkcie ff. Ponadto |df|=12,|ef|=3|df|=12,|ef|=3. Oblicz długość przekątnej acac.

Odpowiedzi 1

Odpowiedź:

|AC| = 30

Szczegółowe wyjaśnienie:

Patrz załącznik.

Trójkąty AEF i DAF są podobne na podstawie podobieństwa trójkątów Kąt-Kąt.

Stąd stosunki przyprostokątnych są takie same (tworzą proporcję):

[tex]\dfrac{|EF|}{|FA|}=\dfrac{|FA|}{|DF|}[/tex]

podstawiamy dane długości:

[tex]\dfrac{3}{x}=\dfrac{x}{12}\\\\x^2=36\to x=\sqrt{36}\\\\x=6[/tex]

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka AD:

|AD|² = |AF|² + |FD|²

podstawiamy:

|AD|² = 6² + 12²

|AD|² = 36 + 144

|AD|² = 180 ⇒ |AD| = √180

|AD| = √(36 · 5)

|AD| = 6√5

Trójkąty AFD i FDC są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów Kąt-Kąt.

Stąd odpowiadające odcinki tworzą proporcje:

[tex]\dfrac{|AF|}{|AD|}=\dfrac{|FD|}{|DC|}[/tex]

podstawiamy dane długości:

[tex]\dfrac{6\!\!\!\!\diagup}{6\!\!\!\!\diagup\sqrt5}=\dfrac{12}{y}\\\\y=12\sqrt5[/tex]

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej prostokąta o wymiarach 12√5 × 6√5:

|AC|² = (12√5)² + (6√5)²

|AC|² = 720 + 180

|AC|² = 900 ⇒ |AC| = √900

|AC| = 30