Rozwiązanie:
Wektory:
[tex]\vec{v_{1}}=[-1,0,2,1][/tex]
[tex]\vec{v_{2}}=[0,2,1,1][/tex]
[tex]\vec{v_{3}}=[0,0,-3,5][/tex]
[tex]\vec{v_{4}}=[1,0,0,4][/tex]
Sprawdzimy, czy powyższe wektory są liniowo niezależne za pomocą rzędu macierzy. Macierz:
[tex]$A=\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\1&0&0&4\end{array}\right][/tex]
Praktycznie mamy już postać schodkową, co ułatwia zadanie. Dodajemy czwarty wiersz do pierwszego i dostajemy:
[tex]$\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\0&0&2&5\end{array}\right][/tex]
Teraz wykonujemy operację [tex]3w_{4}+2w_{3}[/tex] :
[tex]$\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\0&0&0&25\end{array}\right][/tex]
Dostaliśmy postać schodkową, z której już łatwo widzimy, że jesteśmy w stanie wyjąć niezerowy minor stopnia czwartego z tej macierzy (macierz górnotrójkątna, której wyznacznik policzymy jako iloczyn elementów głównej przekątnej). Stąd wniosek, że [tex]R(A)=4[/tex], co oznacza, że wektory [tex]v_{1},v_{2},v_{3}[/tex] i [tex]v_{4}[/tex] są liniowe niezależne.
Teraz musimy jeszcze pokazać, że istnieją takie [tex]\alpha, \beta,\gamma, \delta[/tex], że dowolny wektor przestrzeni [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] da się przedstawić jako sumę wektorów tworzących. W tym celu zapiszmy:
[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] =\alpha \left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right] +\beta \left[\begin{array}{c}0&2&1&1\end{array}\right] +\gamma \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right] +\delta \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]
[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\alpha&0&2\alpha&\alpha\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&2\beta&\beta&\beta\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&0&-3\gamma&5\gamma\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\delta&0&0&4\delta\end{array}\right][/tex]
[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}-\alpha+\delta&2\beta&2\alpha+\beta-3\gamma&\alpha+\beta+5\gamma+4\delta\end{array}\right][/tex]
Niech [tex]B=\left[\begin{array}{cccc}-1&0&0&1\\0&2&0&0\\2&1&-3&0\\1&1&5&4\end{array}\right][/tex] .
Podobnie jak wcześniej jesteśmy w stanie pokazać, że [tex]R(B)=4[/tex], co oznacza, że na mocy tw. Kroneckera - Capallego powyższy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Tak więc takie [tex]\alpha, \beta,\gamma, \delta[/tex] istnieją.
Wniosek:
Wektory [tex]v_{1},v_{2},v_{3}[/tex] i [tex]v_{4}[/tex] tworzą bazę w przestrzeni liniowej [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] .
Aby przedstawić wektor [tex]\vec{w}=[1,0,1,1][/tex] jako ich liniową kombinację musimy znaleźć takie [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] i [tex]\delta[/tex], że:
[tex]\vec{w}=\alpha \vec{v_{1}}+\beta \vec{v_{2}}+\gamma \vec{v_{3}} +\delta \vec{v_{4}}[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{c}1&0&1&1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}0&2&1&1\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right]+\delta \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]
Innymi słowy należy rozwiązać układ:
[tex]$\left\{\begin{array}{cccc}-\alpha +\delta=1\\2\beta=0\\2 \alpha+\beta-3\gamma=1\\\alpha+\beta+5\gamma+4\delta=1\end{array}\right[/tex]
Z drugiego równania otrzymuje się [tex]\beta=0[/tex]. Zatem układ upraszcza się do:
[tex]$\left\{\begin{array}{cccc}-\alpha +\delta=1\\2 \alpha-3\gamma=1\\\alpha+5\gamma+4\delta=1\end{array}\right[/tex]
Z pierwszego równania mamy [tex]\delta =\alpha+1[/tex] co po wstawieniu daje:
[tex]$\left \{ {{2\alpha-3\gamma=1} \atop {\alpha+5\gamma+4(\alpha+1)=1}} \right.[/tex]
Stąd:
[tex]$\left \{ {{\alpha=-\frac{4}{25} } \atop {\gamma=-\frac{11}{25} }} \right.[/tex]
Na koniec obliczamy [tex]\delta[/tex] :
[tex]$\delta =\alpha+1=\frac{21}{25}[/tex]
Zatem:
[tex]$\vec{w} =-\frac{4}{25}\left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right]-\frac{11}{25} \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right]+\frac{21}{25} \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]
