Wyznacz podana wielkość ze wzoru:

Ponieważ w pytaniach w Present Simple stosujemy "do". Jest to pytanie w tym czasie, wiec aby było poprawnie gramatycznie, musi być "do".

Pytanie z have (mieć) możemy zadać na dwa sposoby w Present Simple:

- Do you have a car?

- Have you got a car?

Stąd w tym przypadku "do".

Rozwiązanie:

Wektory:

[tex]\vec{v_{1}}=[-1,0,2,1][/tex]

[tex]\vec{v_{2}}=[0,2,1,1][/tex]

[tex]\vec{v_{3}}=[0,0,-3,5][/tex]

[tex]\vec{v_{4}}=[1,0,0,4][/tex]

Sprawdzimy, czy powyższe wektory są liniowo niezależne za pomocą rzędu macierzy. Macierz:

[tex]$A=\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

Praktycznie mamy już postać schodkową, co ułatwia zadanie. Dodajemy czwarty wiersz do pierwszego i dostajemy:

[tex]$\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\0&0&2&5\end{array}\right][/tex]

Teraz wykonujemy operację [tex]3w_{4}+2w_{3}[/tex] :

[tex]$\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\0&0&0&25\end{array}\right][/tex]

Dostaliśmy postać schodkową, z której już łatwo widzimy, że jesteśmy w stanie wyjąć niezerowy minor stopnia czwartego z tej macierzy (macierz górnotrójkątna, której wyznacznik policzymy jako iloczyn elementów głównej przekątnej). Stąd wniosek, że [tex]R(A)=4[/tex], co oznacza, że wektory [tex]v_{1},v_{2},v_{3}[/tex] i [tex]v_{4}[/tex] są liniowe niezależne.

Teraz musimy jeszcze pokazać, że istnieją takie [tex]\alpha, \beta,\gamma, \delta[/tex], że dowolny wektor przestrzeni [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] da się przedstawić jako sumę wektorów tworzących. W tym celu zapiszmy:

[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] =\alpha \left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right] +\beta \left[\begin{array}{c}0&2&1&1\end{array}\right] +\gamma \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right] +\delta \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\alpha&0&2\alpha&\alpha\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&2\beta&\beta&\beta\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&0&-3\gamma&5\gamma\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\delta&0&0&4\delta\end{array}\right][/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}-\alpha+\delta&2\beta&2\alpha+\beta-3\gamma&\alpha+\beta+5\gamma+4\delta\end{array}\right][/tex]

Niech [tex]B=\left[\begin{array}{cccc}-1&0&0&1\\0&2&0&0\\2&1&-3&0\\1&1&5&4\end{array}\right][/tex] .

Podobnie jak wcześniej jesteśmy w stanie pokazać, że [tex]R(B)=4[/tex], co oznacza, że na mocy tw. Kroneckera - Capallego powyższy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Tak więc takie [tex]\alpha, \beta,\gamma, \delta[/tex] istnieją.

Wniosek:

Wektory [tex]v_{1},v_{2},v_{3}[/tex] i [tex]v_{4}[/tex] tworzą bazę w przestrzeni liniowej [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] .

Aby przedstawić wektor [tex]\vec{w}=[1,0,1,1][/tex] jako ich liniową kombinację musimy znaleźć takie [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] i [tex]\delta[/tex], że:

[tex]\vec{w}=\alpha \vec{v_{1}}+\beta \vec{v_{2}}+\gamma \vec{v_{3}} +\delta \vec{v_{4}}[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}1&0&1&1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}0&2&1&1\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right]+\delta \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

Innymi słowy należy rozwiązać układ:

[tex]$\left\{\begin{array}{cccc}-\alpha +\delta=1\\2\beta=0\\2 \alpha+\beta-3\gamma=1\\\alpha+\beta+5\gamma+4\delta=1\end{array}\right[/tex]

Z drugiego równania otrzymuje się [tex]\beta=0[/tex]. Zatem układ upraszcza się do:

[tex]$\left\{\begin{array}{cccc}-\alpha +\delta=1\\2 \alpha-3\gamma=1\\\alpha+5\gamma+4\delta=1\end{array}\right[/tex]

Z pierwszego równania mamy [tex]\delta =\alpha+1[/tex] co po wstawieniu daje:

[tex]$\left \{ {{2\alpha-3\gamma=1} \atop {\alpha+5\gamma+4(\alpha+1)=1}} \right.[/tex]

Stąd:

[tex]$\left \{ {{\alpha=-\frac{4}{25} } \atop {\gamma=-\frac{11}{25} }} \right.[/tex]

Na koniec obliczamy [tex]\delta[/tex] :

[tex]$\delta =\alpha+1=\frac{21}{25}[/tex]

Zatem:

[tex]$\vec{w} =-\frac{4}{25}\left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right]-\frac{11}{25} \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right]+\frac{21}{25} \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Próba obrączkowa

Próba obrączkowa służy do wykrywania azotanów (V), (azotanów (III) także).

Wykonanie:

Do nasyconego roztworu siarczanu (VI) żelaza (II) dodajemy odrobinę badanego roztworu i wstrząsamy.

Następnie, po ściance probówki, wlewamy powoli stężony kwas siarkowy (VI) tak, aby ciecze nie zmieszały się.  

Na granicy obu cieczy powstaje brunatna obrączka (stąd nazwa reakcji).

• Reakcje: (zapis cząsteczkowy, jonowy i jonowy skrócony)

6FeSO₄ + 2NaNO₃ + 4H₂SO₄ → 3Fe₂(SO₄)₃ + Na₂SO₄ + 4H₂O + 2NO  

6Fe²⁺ + 6SO₄²⁻ + 2Na⁺ + 2NO₃⁻ + 8H⁺ + 4SO₄²⁻→ 6Fe³⁺ + 9SO₄²⁻ + 2Na⁺  + SO₄²⁻  + 4H₂O + 2NO

6Fe²⁺   + 2NO₃⁻  + 8H⁺  →  6Fe³⁺  + 4H₂O  +  2NO

NO tworzy z nadmiarem FeSO₄ jon kompleksowy, o brunatnym zabarwieniu.

• FeSO₄  + NO → [Fe(NO)]SO₄

• Fe²⁺ + NO → [Fe(NO)]²⁺   jon nitrozylożelaza (II)

* Jeżeli podejrzewamy obecność azotanów (III) (NO₂⁻), to należy je usunąć przez podgrzanie badanego roztworu z chlorkiem amonu.

NO₂⁻  + NH₄⁺ → N₂↑  + 2H₂O

*Uwaga

- azotany (III) są toksyczne

- reakcja silnie egzotermiczna

Odpowiedź:

a) log (o podstawie 2) 32 = 5 ,ponieważ 2 do potęgi 5 = 32

b) log5 + log2 = log (5*2) = log 10 = 1 ,ponieważ 10¹ = 10

c) 3log(log o podstawie 2 z liczby 32 * log o podstawie 5 z liczby 25) = 3log (5*2) = log 10³ = log 1000 = 3 ,ponieważ 10³ = 1000 (10*10*10)

Szczegółowe wyjaśnienie:

...

Odpowiedź + Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\log_ab=c\iff a^c=b\\\\a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

[tex]a)\ \log_232[/tex]

pytamy się: jaka potęga liczby 2 daje 32?

oczywiście, że 5.

2⁵ = 32

stąd

[tex]\huge\boxed{\log_232=5}[/tex]

Możemy rozwiązać to przez równanie na podstawie definicji logarytmu:

[tex]\log_232=x\iff 2^x=32\\\\2^x=2^5\Rightarrow x=5[/tex]

[tex]b)\ \log5+\log2[/tex]

Jeżeli mamy do czynienia z logarytmem, w którym nie ma napisanej podstawy, to jest to logarytm dziesiętny:

[tex]\log x=\log_{10}x[/tex]

Ani w jednym, ani w drugim logarytmie nie możemy określić potęgi liczby 10, która dałaby nam liczbę 5 lub 2.

Skorzystamy z twierdzenia:

[tex]\log_ab+\log_ac=\log_a\left(b\cdot c\right)\\\\a,\ b,\ c > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

[tex]\log5+\log2=\log10\\\\\log10=x\iff10^x=10\\\\10^x=10^1\Rightarrow x=1[/tex]

stąd:

[tex]\huge\boxed{\log5+\log2=1}[/tex]

[tex]c)\ 3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)[/tex]

Zaczniemy od logarytmów w nawiasie:

[tex]\log_232=x\iff 2^x=32\\\\2^x=2^5\Rightarrow x=5\\\\\huge\boxed{\log_232=5}[/tex]

[tex]\log_525=x\iff5^x=25\\\\5^x=5^2\Rightarrow x=2\\\\\huge\boxed{\log_525=2}[/tex]

[tex]\log_232\cdot\log_525=5\cdot2=10[/tex]

zatem maty:

[tex]3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)=3\log10[/tex]

[tex]\log10=x\iff 10^x=10\\\\10^x=10^1\Rightarrow x=1\\\\\huge\boxed{\log10=1}[/tex]

Ostatecznie mamy:

[tex]3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)=3\log(5\cdot2)=3\log10=3\cdot1=3[/tex]

[tex]\huge\boxed{3\log\left(\log_232\cdot\log_525\right)=3}[/tex]