Sprawdź czy wektory v1=[-1,0,2,1], v2=[0,2,1,1], v3=[0,0,-3,5], v4=[1,0,0,4] tworzą bazę w przestrzeni [tex]R^{4}[/tex]. Jeśli tak, przedstaw wektor w=[1,0,1,1] jako liniową kombinację wektorów bazy.

Odpowiedzi 1

Rozwiązanie:

Wektory:

[tex]\vec{v_{1}}=[-1,0,2,1][/tex]

[tex]\vec{v_{2}}=[0,2,1,1][/tex]

[tex]\vec{v_{3}}=[0,0,-3,5][/tex]

[tex]\vec{v_{4}}=[1,0,0,4][/tex]

Sprawdzimy, czy powyższe wektory są liniowo niezależne za pomocą rzędu macierzy. Macierz:

[tex]$A=\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

Praktycznie mamy już postać schodkową, co ułatwia zadanie. Dodajemy czwarty wiersz do pierwszego i dostajemy:

[tex]$\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\0&0&2&5\end{array}\right][/tex]

Teraz wykonujemy operację [tex]3w_{4}+2w_{3}[/tex] :

[tex]$\left[\begin{array}{cccC}-1&0&2&1\\0&2&1&1\\0&0&-3&5\\0&0&0&25\end{array}\right][/tex]

Dostaliśmy postać schodkową, z której już łatwo widzimy, że jesteśmy w stanie wyjąć niezerowy minor stopnia czwartego z tej macierzy (macierz górnotrójkątna, której wyznacznik policzymy jako iloczyn elementów głównej przekątnej). Stąd wniosek, że [tex]R(A)=4[/tex], co oznacza, że wektory [tex]v_{1},v_{2},v_{3}[/tex] i [tex]v_{4}[/tex] są liniowe niezależne.

Teraz musimy jeszcze pokazać, że istnieją takie [tex]\alpha, \beta,\gamma, \delta[/tex], że dowolny wektor przestrzeni [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] da się przedstawić jako sumę wektorów tworzących. W tym celu zapiszmy:

[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] =\alpha \left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right] +\beta \left[\begin{array}{c}0&2&1&1\end{array}\right] +\gamma \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right] +\delta \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-\alpha&0&2\alpha&\alpha\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&2\beta&\beta&\beta\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&0&-3\gamma&5\gamma\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\delta&0&0&4\delta\end{array}\right][/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}x&y&z&t\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}-\alpha+\delta&2\beta&2\alpha+\beta-3\gamma&\alpha+\beta+5\gamma+4\delta\end{array}\right][/tex]

Niech [tex]B=\left[\begin{array}{cccc}-1&0&0&1\\0&2&0&0\\2&1&-3&0\\1&1&5&4\end{array}\right][/tex] .

Podobnie jak wcześniej jesteśmy w stanie pokazać, że [tex]R(B)=4[/tex], co oznacza, że na mocy tw. Kroneckera - Capallego powyższy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Tak więc takie [tex]\alpha, \beta,\gamma, \delta[/tex] istnieją.

Wniosek:

Wektory [tex]v_{1},v_{2},v_{3}[/tex] i [tex]v_{4}[/tex] tworzą bazę w przestrzeni liniowej [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] .

Aby przedstawić wektor [tex]\vec{w}=[1,0,1,1][/tex] jako ich liniową kombinację musimy znaleźć takie [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] i [tex]\delta[/tex], że:

[tex]\vec{w}=\alpha \vec{v_{1}}+\beta \vec{v_{2}}+\gamma \vec{v_{3}} +\delta \vec{v_{4}}[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{c}1&0&1&1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}0&2&1&1\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right]+\delta \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

Innymi słowy należy rozwiązać układ:

[tex]$\left\{\begin{array}{cccc}-\alpha +\delta=1\\2\beta=0\\2 \alpha+\beta-3\gamma=1\\\alpha+\beta+5\gamma+4\delta=1\end{array}\right[/tex]

Z drugiego równania otrzymuje się [tex]\beta=0[/tex]. Zatem układ upraszcza się do:

[tex]$\left\{\begin{array}{cccc}-\alpha +\delta=1\\2 \alpha-3\gamma=1\\\alpha+5\gamma+4\delta=1\end{array}\right[/tex]

Z pierwszego równania mamy [tex]\delta =\alpha+1[/tex] co po wstawieniu daje:

[tex]$\left \{ {{2\alpha-3\gamma=1} \atop {\alpha+5\gamma+4(\alpha+1)=1}} \right.[/tex]

Stąd:

[tex]$\left \{ {{\alpha=-\frac{4}{25} } \atop {\gamma=-\frac{11}{25} }} \right.[/tex]

Na koniec obliczamy [tex]\delta[/tex] :

[tex]$\delta =\alpha+1=\frac{21}{25}[/tex]

Zatem:

[tex]$\vec{w} =-\frac{4}{25}\left[\begin{array}{c}-1&0&2&1\end{array}\right]-\frac{11}{25} \left[\begin{array}{c}0&0&-3&5\end{array}\right]+\frac{21}{25} \left[\begin{array}{c}1&0&0&4\end{array}\right][/tex]

Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!

Can't find the answer?

Zaloguj się z Google

lub

Zapomniałeś(aś) hasła?

Nie mam jeszcze konta, ale chcę je założyć Zarejestruj się

Wybierz język i region
How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years