Proszę rozwiązać to zadanie.

Temat:
Matematyka
Autor:
kileycraig
Utworzono:
1 rok temu

Odpowiedzi 1

Rozwiązanie:

Rysunek w załączniku.

Całka:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}\frac{y}{x} \ dxdy[/tex]

Współrzędne biegunowe:

[tex]$\left \{ {{x=r\cos \varphi} \atop {y=r\sin \varphi}} \right.[/tex]

[tex]J(r, \varphi)=r[/tex]

gdzie (patrz rysunek):

[tex]1\leq r\leq 2[/tex]

[tex]$\frac{\pi}{4}\leq \varphi\leq \frac{\pi}{2}[/tex]

Zatem:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}\frac{y}{x} \ dxdy=\int \limits^{2}_{1}\Bigg(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}} \frac{r\sin \varphi}{r \cos \varphi} \cdot r \ d \varphi\Bigg)dr=\int \limits^{2}_{1}\Bigg(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}} r\tan \varphi \ d \varphi\Bigg)dr[/tex]

Łatwo zauważyć, że:

[tex]$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\tan \varphi \ d \varphi=\lim_{a \to \frac{\pi}{2}} \int \limits^{a}_{\frac{\pi}{4}} \tan \varphi \ d \varphi=\lim_{a \to \frac{\pi}{2}}-\ln \cos \varphi \Bigg|^{a}_{\frac{\pi}{4}}=-\lim_{a \to \frac{\pi}{2}} \Big(\ln \cos a-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}\Big)=[/tex]

[tex]$=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-\lim_{a \to \frac{\pi}{2}}\ln \cos a=\ln \frac{\sqrt{2}}{2}-\ln0=\infty[/tex]

Stąd wniosek, że wyjściowa całka jest rozbieżna (objętość pod wykresem funkcji [tex]$f(x,y)=\frac{y}{x}[/tex] na obszarze [tex]D[/tex] nie jest skończona).

Autor:

arniescott
Oceń odpowiedź:
10

Znasz odpowiedź? Dodaj ją tutaj!

Can't find the answer?

Other related questions that may help you

Kasia ma 3 koty, po 2 miesiącach uznała że kupi sobie 2 razy więcej kotów niż teraz ma ile wszystkich kotów ma razem jeśli 2 z nich urodziły razem 8 małych kotków? 2 cz: ile jeden kot urodził małych?