Czy mógłby ktoś rozwiązać zadanie 1, 4 oraz 5?

Rozwiązanie:

Zadanie [tex]\bold{1.}[/tex]

Szereg:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\sqrt[5]{4n^{2}-2n+2}}{5n^{3}-n+2}=\frac{\sqrt[5]{2}}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\sqrt[5]{4n^{2}-2n+2}}{5n^{3}-n+2}[/tex]

Niech [tex]$a_{n}=\frac{\sqrt[5]{4n^{2}-2n+2}}{5n^{3}-n+2}[/tex]. Zauważmy, że:

[tex]$a_{n}\leq \frac{\sqrt[5]{4n^{2}}}{5n^{3}} =\frac{\sqrt[5]{4}}{n^{\frac{13}{5}}}=b_{n}[/tex]

Szereg [tex]$\sum^{\infty}_{n=1} b_{n}[/tex] jest zbieżny jako szereg Dirichleta dla [tex]$\alpha = \frac{13}{5}[/tex]. Na mocy kryterium porównawczego szereg [tex]$\sum^{\infty}_{n=1} a_{n}[/tex] jest zbieżny, a stąd wyjściowy szereg też jest zbieżny.

Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]

Szereg:

[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} \Big(\frac{3n^{2}+3n+2}{3n^{2}-2n+2} \Big)^{n}x^{n}[/tex]

Niech [tex]$a_{n}=\Big(\frac{3n^{2}+3n+2}{3n^{2}-2n+2} \Big)^{n}[/tex].

Obliczamy promień zbieżności:

[tex]$\lambda =\lim_{n \to \infty} \Big|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \Big|=\lim_{n \to \infty} \Big(\frac{3(n+1)^{2}+3(n+1)+2}{3(n+1)^{2}-2(n+1)+2} \Big)^{n+1} \cdot \Big(\frac{3n^{2}-2n+2}{3n^{2}+3n+2}\Big)^{n}=[/tex]

[tex]$=\lim_{n \to \infty}\Big(\frac{3n^{2}+9n+8}{3n^{2}+4n+3} \Big)^{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty}\Big(\frac{3n^{2}-2n+2}{3n^{2}+3n+2} \Big)^{n}=L_{1} \cdot L_{2}[/tex]

Mamy:

[tex]$L_{1}=\lim_{n \to \infty}\Big(\frac{3n^{2}+9n+8}{3n^{2}+4n+3} \Big)^{n+1}=\lim_{n \to \infty}\Bigg[\Big(1+\frac{5n+5}{3n^{2}+4n+3}\Big)^{\frac{3n^{2}+4n+3}{5n+5}}\Bigg]^{\frac{5n+5}{3n^{2}+4n+3} \cdot (n+1)}=[/tex]

[tex]$=e^{\frac{5}{3}}[/tex]

W podobny sposób otrzymamy:

[tex]L_{2}=e^{-\frac{5}{3}}[/tex]

Stąd:

[tex]$\lambda=e^{0}=1[/tex]

Ostatecznie promień zbieżności wynosi:

[tex]$R=\frac{1}{\lambda}=1[/tex]

Zadanie [tex]\bold{5.}[/tex]

Szereg Taylora:

[tex]$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}[/tex]

Niech [tex]f(x)=\cos (2x^{2}+2x)[/tex] .

Liczymy pierwsze dwie pochodne:

[tex]f'(x)=-(4x+2)\sin(2x^{2}+2x) =-2(2x+1)\sin(2x^{2}+2x)[/tex]

[tex]f''(x)=-2\Big(2\sin(2x^{2}+2x)+(2x+1)(4x+2)\cos(2x^{2}+2x)\Big)[/tex]

Mamy:

[tex]f(x_{0})=f(2)=\cos 12[/tex]

[tex]$f'(x_{0})=f'(2)=-2(4+1)\sin 12=-10\sin 12[/tex]

[tex]f''(x_{0})=f''(2)=-2(2\sin 12+50\cos 12)=-4\sin12-100\cos12[/tex]

Zatem pierwsze trzy wyrazy szeregu Taylora w otoczeniu punktu [tex]x_{0}[/tex] to:

[tex]$f(x)=\cos 12 -10 \sin 12 \cdot (x-2) - (\sin 12+ 25\cos 12) \cdot (x-2)^{2} +...[/tex]